Incertidumbre de las coordenadas polares

Pareces atascado en símbolos. Con

$$\rho = (x^2 + y^2)^{\frac 1 2}$$

obtienes, escribe a$x$:

$$\delta\rho = \frac 1 2 (x^2 + y^2)^{-\frac 1 2} 2 x \delta x=\frac x {\rho} \delta x$$

con$y$dando un resultado similar. Sumándolos en cuadratura:

$$(\delta \rho)^2 = \frac 1 {\rho^2}[x^2(\delta x)^2 + y^2(\delta y)^2 ]$$

También puedes escribir eso como:

$$(\delta \rho)^2 = \big(\frac x {\rho}\delta x\big)^2 + \big(\frac y {\rho}\delta y\big)^2$$

de manera que la dependencia de coordenadas del error es exactamente proporcional a la dependencia de coordenadas de las variables.

Si las incertidumbres no dependen de la coordenada:

$$\delta x = \delta y \equiv \Delta$$

entonces

$$(\delta \rho)^2 = \frac 1 {\rho^2}[x^2 + y^2 ]\Delta^2 =\frac{\rho^2}{\rho^2}\Delta^2 = \Delta^2$$

La otra mitad de la varianza total (también de magnitud$\Delta^2$) es ortogonal, y entra en el$\delta\phi$parte con una escala de$\rho$.

Tenga en cuenta que si$x=0$, entonces:

$$\rho = \pm y$$

y un error en$x$,$dx$, lleva a:

$$\rho' = (y + dx)^{\frac 1 2}= \rho(1+\frac{dx^2} {y^2})^{\frac 1 2} \approx \rho(1 + \frac 1 2 \frac{dx^2} {y^2}) \approx \rho$$

a 1er orden. Si la incertidumbre es de la misma magnitud que la coordenada, entonces este no es un buen estimador... por supuesto, si este es el caso, el círculo 1-sigma incluirá o estará cerca del origen, en cuyo caso todos las coordenadas polares van a ser legítimamente inciertas.

Si ese es el caso, entonces es mejor graficar su resultado en un$\rho-\theta$trace y muestre el círculo 1 sigma. Si esa no es una opción, entonces nosotros un Monte Carlo para tomar su final$(x, y)$y agregue distribuciones gaussianas a cada uno (basado en$\sigma_x$y$\sigma_y$), y calcule un$\rho$y$\phi$histogramas, y a partir de ahí tomar decisiones sobre errores.

Si estás cerca del origen, deberías encontrar que$\rho$no parece demasiado gaussiano (estará sesgado), y$\phi$estará por todos lados.

Si debe tener sus resultados en$\bar\rho$y$\bar\phi$, no se verá bien porque era inherentemente una mala medición.