¿Por qué la aceleración de un electrón a lo largo de la línea de visión del observador no contribuye al campo eléctrico?

La fórmula de Heaviside-Feynman (la quinta ecuación en su pregunta) se deriva de los potenciales de Liénard-Wiechert, que a su vez se derivan de las primeras cuatro ecuaciones suyas. Pero a partir de los potenciales de Liénard-Wiechert podría derivar la siguiente ecuación que es más conveniente para nuestro caso ¹ :

$$\begin{equation} \mathbf{E}(\mathbf{x},t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta}}{\gamma^2(1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\mathbf{n})^3 R^2} \right]_{\mathrm{ret}} + \frac{q}{4\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}\left[\frac{\mathbf{n}\times\left[(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta})\times \dot{\boldsymbol{\beta}}\right]}{(1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\mathbf{n})^3 R}\right]_{\mathrm{ret}} \tag{01} \end{equation}$$ dónde

$$\begin{align} \boldsymbol{\beta} & = \dfrac{\boldsymbol{\upsilon}}{c},\quad \beta=\dfrac{\upsilon}{c}, \quad \gamma= \left(1-\beta^{2}\right)^{-\frac12} \tag{02a}\\ \dot{\boldsymbol{\beta}} & = \dfrac{\dot{\boldsymbol{\upsilon}}}{c}=\dfrac{\mathbf{a}}{c} \tag{02b}\\ \mathbf{n} & = \dfrac{\mathbf{R}}{\Vert\mathbf{R}\Vert}=\dfrac{\mathbf{R}}{R}\equiv\dfrac{\mathbf{r'}}{r'}=\dfrac{\mathbf{r'}}{\Vert\mathbf{r'}\Vert}\equiv \mathbf{e}_{r'} \tag{02c} \end{align}$$ El campo eléctrico de la ecuación (01) viene dado por la ecuación 14.14 de la 'Electrodinámica clásica' de Jackson , 3ª edición.

Para puntos a grandes distancias de la carga [$R^{-2}\rightarrow 0$] y velocidades$\:\upsilon\:$de la carga siempre mucho menor que c [$\gamma^2(1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\mathbf{n})^3\rightarrow 1$] el primer término de la derecha de (01) tiende a cero y se ignora. Para el segundo término con velocidades$\:\upsilon\:$de la carga siempre mucho menor que c tenemos lo siguiente

$$\begin{align} \beta & = \dfrac{\upsilon}{c} \ll 1 \tag{03a}\\ \mathbf{n}-\boldsymbol{\beta} & \approx \mathbf{n} \tag{03b} \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} \mathbf{E}(\mathbf{x},t) \approx -\frac{q}{4\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}\left[\frac{(\mathbf{n}\boldsymbol{\times} \dot{\boldsymbol{\beta}})\times\mathbf{n}}{(1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\mathbf{n})^3 R}\right]_{\mathrm{ret}} \tag{04} \end{equation}$$ Pero$\:(\mathbf{n}\boldsymbol{\times} \dot{\boldsymbol{\beta}})\boldsymbol{\times} \mathbf{n}\equiv \dot{\boldsymbol{\beta}}_{\perp \mathbf{n} }\:$es la proyección vectorial del vector aceleración$\:\dot{\boldsymbol{\beta}}\:$en la dirección normal a$\:\mathbf{n}\:$, eso es normal para$\:\mathbf{r'}$[mientras que la proyección vectorial en la dirección$\:\mathbf{n}\:$se obtiene reemplazando en la expresión anterior los productos exteriores por los interiores$\:(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot} \dot{\boldsymbol{\beta}})\cdot \mathbf{n}\equiv \dot{\boldsymbol{\beta}}_{\parallel \mathbf{n} }$].

---

$1 \quad$Tenga en cuenta que

$$\begin{equation} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathbf{E}(\mathbf{x},t) = \underbrace{\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\Biggl[\frac{\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta}}{\gamma^2(1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\mathbf{n})^3 R^2} \Biggr]_{\mathrm{ret}}}_{\boldsymbol{-}\boldsymbol{\nabla}\phi} + \underbrace{\frac{q}{4\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}\left[\frac{\mathbf{n}\times\left[(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta})\times \dot{\boldsymbol{\beta}}\right]}{(1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\mathbf{n})^3 R}\right]_{\mathrm{ret}}}_{\boldsymbol{-}\frac {\partial \mathbf{A}}{\partial t}} \tag{01-false} \end{equation}$$

---

EDITAR: Gracias a un comentario de @verdelite: "Su partición de$\mathbf{E}(\mathbf{x},t)$en las dos partes como en la nota al pie 1 es incorrecta..." la correcta es

$$\begin{equation} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathbf{E}(\mathbf{x},t) = \underbrace{\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\Biggl[\frac{\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta}}{\gamma^2(1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\mathbf{n})^3 R^2} \Biggr]_{\mathrm{ret}}}_{\boldsymbol{-}\boldsymbol{\nabla}\phi\boldsymbol{+}\mathbf{f}\left(\mathbf{R},\boldsymbol{\beta},\dot{\boldsymbol{\beta}}\right)} + \underbrace{\frac{q}{4\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}\left[\frac{\mathbf{n}\times\left[(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta})\times \dot{\boldsymbol{\beta}}\right]}{(1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\mathbf{n})^3 R}\right]_{\mathrm{ret}}}_{\boldsymbol{-}\frac {\partial \mathbf{A}}{\partial t}\boldsymbol{-}\mathbf{f}\left(\mathbf{R},\boldsymbol{\beta},\dot{\boldsymbol{\beta}}\right)} \tag{01} \end{equation}$$ dónde$\mathbf{f}\left(\mathbf{R},\boldsymbol{\beta},\dot{\boldsymbol{\beta}}\right)$una función vectorial de$\mathbf{R},\boldsymbol{\beta},\dot{\boldsymbol{\beta}}$.