¿Por qué Io proyecta una sombra dura sobre Júpiter, pero la Luna proyecta una sombra suave sobre la Tierra?

Se debe al mayor tamaño relativo aparente del Sol. Cuando la fuente de luz es puntual la sombra es más dura , y cuando se extiende es más suave .

Júpiter está aproximadamente 5 veces más lejos del Sol que la Tierra, por lo que el Sol es aproximadamente 5 veces más pequeño en el cielo.

*Fuente: Universidad de Carolina del Norte CS

Debido al teorema básico de proporcionalidad , el ancho del límite de la sombra es

$$w=\frac{\ell D}L\;,$$

dónde$\ell$es la distancia de la luna a la superficie del planeta,$L$es la distancia del planeta al sol, y$D$es el diámetro del sol. Aquí

$$\begin{eqnarray} D&\approx&1.4\cdot10^9\mathrm m\;,\\ L_♁&\approx&1.5\cdot10^{11}\mathrm m\;,\\ \ell_♁&\approx&3.8\cdot10^8\mathrm m\;,\\ L_♃&\approx&7.8\cdot10^{11}\mathrm m\;,\\ \ell_♃&\approx&3.5\cdot10^8\mathrm m\;. \end{eqnarray}$$

(Tenga en cuenta que$\ell$es el radio de la órbita de la luna menos el radio del planeta; restando el radio del planeta hace una diferencia apreciable en el caso de Júpiter e Io pero no en el caso de la Tierra y la Luna.) Por lo tanto, el ancho del límite de la sombra de Io en Júpiter es

$$w_♃=\frac{\ell_♃ D}{L_♃}\approx\frac{3.5\cdot10^8\mathrm m\cdot1.4\cdot10^9\mathrm m}{7.8\cdot10^{11}\mathrm m}\approx6.3\cdot10^5\mathrm m\;,$$

mientras que el ancho del límite de la sombra de la Luna en la Tierra es

$$w_♁=\frac{\ell_♁ D}{L_♁}\approx\frac{3.8\cdot10^8\mathrm m\cdot1.4\cdot10^9\mathrm m}{1.5\cdot10^{11}\mathrm m}\approx3.5\cdot10^6\mathrm m\;.$$

Desde$D$es el mismo en ambos casos y las distancias de las lunas a los planetas también son aproximadamente iguales, la diferencia en el ancho del límite se debe principalmente a la diferencia en las distancias desde el sol, como se indica en la respuesta de @christopherlovell.

También podemos calcular los anchos relativos, tanto en relación con el radio de la luna como con el radio del planeta, los cuales contribuyen a que la sombra parezca dura o blanda en fotos como las que incluiste en la pregunta. El radio de la luna es, con una muy buena aproximación, el radio de la sombra hasta el centro de su límite, es decir, el radio de la sombra como sería si el sol fuera una fuente puntual. Esto se debe a que este radio es el radio de la luna, magnificado por el factor$\frac{L+\ell}L=1+\frac\ell L$(nuevamente debido al teorema básico de proporcionalidad), que es aproximadamente$1$desde$\ell\ll L$.

El ancho del límite de la sombra en relación con el radio.$r$de la luna es

$$\frac{w_♃}{r_♃}\approx\frac{6.3\cdot10^5\mathrm m}{1.8\cdot10^6\mathrm m}\approx35\%$$

por la sombra de Io sobre Júpiter y

$$\frac{w_♁}{r_♁}\approx\frac{3.5\cdot10^6\mathrm m}{1.7\cdot10^6\mathrm m}\approx200\%$$

por la sombra de la Luna en la Tierra. (De hecho, la órbita de la Luna es suficientemente elíptica para que el ancho relativo del límite fluctúe alrededor$200\%$, razón por la cual hay eclipses solares tanto anulares como totales ). Nuevamente, Io y la Luna tienen radios muy similares, por lo que la diferencia se debe principalmente a la diferencia en las distancias desde el sol.

El ancho del límite de la sombra en relación con el radio.$R$del planeta es

$$\frac{w_♃}{R_♃}\approx\frac{6.3\cdot10^5\mathrm m}{7.0\cdot10^7\mathrm m}\approx1\%$$

por la sombra de Io sobre Júpiter y

$$\frac{w_♁}{R_♁}\approx\frac{3.5\cdot10^6\mathrm m}{6.4\cdot10^6\mathrm m}\approx55\%$$

por la sombra de la Luna en la Tierra. Aquí, la gran diferencia entre los radios de Júpiter y la Tierra aumenta considerablemente la diferencia entre los anchos de los límites. Comparaste dos fotos en las que se ven partes aproximadamente similares de los planetas, mientras que las sombras/lunas, que en realidad son de tamaño similar, aparecen en una escala muy diferente; esto realza la impresión de diferente dureza de las sombras, ya que el ancho ya más pequeño del límite de la sombra de Io se reduce aún más.

Otro factor está involucrado además de las respuestas anteriores.

La sombra umbral de Io tiene un poco más de dos millones de kilómetros de largo, casi seis veces más que la distancia de ~350 mil kilómetros entre la superficie de Júpiter e Io. Esto significa que la mayor parte de la sombra de Io en la superficie de Júpiter vista desde el espacio es el umbral de Io en lugar de su sombra penumbral. La sombra umbral de Io es completamente negra.

Compare eso con el sistema Tierra-Luna. La longitud de la sombra umbral de la Luna es aproximadamente la misma que la distancia entre el centro de la Luna y la superficie de la Tierra. Esto significa que casi toda la sombra creada por la Luna en la superficie de la Tierra resulta de la sombra penumbral de la Luna en lugar de su sombra umbral. Incluso en el caso de un eclipse solar total, es bastante difícil ver desde el espacio que hay un poco de oscuridad en el centro de la sombra de la Luna sobre la Tierra. La mayor parte de lo que se ve desde el espacio es una transición gradual desde la iluminación total hasta la oscuridad en el centro de la sombra de la Luna.

Además, que la distancia entre el Sol e Io sea más de cinco veces mayor que la distancia entre el Sol y la Luna significa que la sombra penumbral de Io es bastante nítida en comparación con la sombra penumbral de la Luna.

Cuanto más te alejas, más pequeña se vuelve la fuente de luz.

Imagina un tubo de luz y un diodo LED, como en la imagen de abajo. El factor de difusión aumenta a medida que te acercas. Los artistas de animación sabrán de lo que hablo.

Pero para un hombre común: cuanto más grande sea la fuente de luz, más suave será la sombra de la luz. Y sabemos que la Tierra está más cerca del Sol que Júpiter. Por lo tanto, los rayos de luz serán más nítidos alrededor de los bordes.

Esto se puede ver geométricamente:

Dondequiera que las líneas toquen un círculo, son tangentes.

En algunas partes de la sombra, el sol no es visible en absoluto. Esta es la umbra . Es visible en esta construcción como el cono interior de la sombra.

Fuera de esto, el sol solo está parcialmente oscurecido. Esto se llama la penumbra.

Si la penumbra es pequeña en relación con la umbra, la sombra parece dura. Si la penumbra es relativamente grande, la sombra es suave.

Tanto Io como la luna de la Tierra tienen aproximadamente el mismo tamaño. Ambos también orbitan a una altitud similar sobre sus respectivos cuerpos. Pero Io está aproximadamente 5 veces más lejos del sol. En consecuencia, eso hace que el Sol sea "más pequeño" para Io, que de acuerdo con la geometría anterior debería ser intuitivamente obvio que la penumbra se vuelve más pequeña y, por lo tanto, la sombra se vuelve más dura.

Si no es inmediatamente obvio, considere el caso límite donde el Sol es solo un punto: en ese caso no hay penumbra en absoluto.

Imagina cómo se vería la sombra de nuestra hermana Luna si la hermana Tierra girara alrededor del Sol más cerca que Mercurio. Suponiendo que el feliz gemelo bloqueado por mareas sobreviva a la intensa radiación.

La Madre Sol se vería de tamaño gigantesco. La Hermana Luna cubriría una pequeña parte de su madre, y ningún lugar de su hermano gemelo estaría en la oscuridad, aparte del lado oscuro.