Durante un eclipse, ¿cuán grande es la sombra de la luna sobre la tierra?

¿Pero qué tan grande es esta sombra? ¿Cuántos kilómetros tiene su diámetro?

Esa es una foto de la umbra y la penumbra en la superficie de la Tierra tomada desde el espacio. Está un poco distorsionado porque no está directamente debajo de la ISS, sino lejos, cerca del terminador.

Es difícil precisar el tamaño de la penumbra porque es borrosa y se desvanece cerca de los bordes, pero si pudieras ver los bordes, entonces sería el doble ^† del diámetro de la luna o aproximadamente 6900 kilómetros en total.

^† En realidad, esto solo es cierto por coincidencia porque el diámetro angular del Sol resulta ser el mismo que el de la Luna. La respuesta de @Flaffo hace un buen trabajo al explicar cómo calcular el diámetro de la umbra, y esa matemática probablemente también podría extenderse para calcular el diámetro de la penumbra.

La umbra tiene un diámetro bien definido pero el tamaño varía mucho debido a la variación en la distancia de la Luna a la Tierra ya que su órbita no es circular. A veces, la Luna está tan lejos que no puede llenar el Sol y no hay ninguna sombra, eso se llama eclipse anular.

Wikipedia dice :

Por lo general, la umbra tiene entre 100 y 160 km de ancho, mientras que el diámetro de la penumbra supera los 6400 km.

Fuente: Geometría de un eclipse solar total

Puede ver un ejemplo de una simulación muy detallada de solo la umbra moviéndose a través de la superficie de la Tierra en el video Goddard de la NASA Tracing the 2017 Solar Eclipse La forma 3D precisa de la Luna genera la sombra y luego se mueve sobre el contorno de la topografía de la Tierra . Si crees que la forma es rara, ¡estoy de acuerdo! Ver respuestas a La sombra de la Luna no podría tener este aspecto, ¿o sí? (Consulte también ¿Cuáles son los ángulos de la "Luna L, B, C" que se muestran en esta simulación de eclipse solar? )

Aquí hay una captura de pantalla:

La umbra tiene un diámetro bien definido pero el tamaño varía debido a la excentricidad de las órbitas de la Tierra y de la Luna. La Luna puede estar tan lejos que no puede llenar el disco solar (por ejemplo, la Luna en el apogeo y la Tierra en el perihelio).

Sin embargo, podemos determinar teóricamente el diámetro de la sombra que la Luna proyecta sobre la Tierra. El cálculo solo requiere geometría elemental y una buena imagen. Entonces obtenemos el radio máximo:

$\displaystyle r_{u} = R_{m} - \frac{d_{m}- R_{e}}{d_{e} - d_{m}} (R_{s} - R_{m})$

dónde$R_m, R_e, R_s$son los radios de la Luna, la Tierra y el Sol respectivamente,$d_{m}$es la distancia Luna-Tierra,$d_{e}$es la distancia Tierra-Sol.

Podemos investigar varios casos variando las distancias$d_{m}$y$d_{e}$, de acuerdo con las excentricidades de las órbitas.

Para encontrar el radio máximo posible de la umbra, tome$d_m = a_m (1- e_m)$(Luna en perigeo) y$d_e = a_e (1+e_e)$(Tierra en el afelio), donde$e_e, e_m$son las excentricidades de las órbitas de la Tierra y la Luna respectivamente, y$a_e, a_m$su semieje mayor. Esto tiene sentido porque para obtener el eclipse lunar más amplio queremos una Luna grande (y por lo tanto cercana) y un Sol pequeño (y lejano). Sustituyendo algunos valores típicos obtenemos$r_u \approx 120$kilómetros (alrededor de$240$km ancho máximo). Esta situación es, sin embargo, extremadamente improbable (estimo que ocurre alrededor de una vez cada siglo).

Esta ecuación también nos dice que, en promedio ($d_m = a_m, d_e = a_e$), no vemos ningún eclipse ($r_u$sería negativo).

Necesitamos que la Luna esté cerca del perigeo, en cuyo caso, suponiendo una distancia promedio para la Tierra ($d_e=a_e$), obtenemos$r_u \approx 80$km y un ancho de$160$kilómetros ¡Un resultado que puede sonar familiar a estas alturas!

De manera muy similar, como sugirió @uhoh, podemos calcular el ancho de la penumbra. Ahora, en lugar de considerar el rayo$T_{s,1} T_{l,1}$, tomamos el rayo$T_{s,2} T_{l,1}$. Claramente, esto es equivalente a tomar$R_s \rightarrow - R_s$. entonces obtenemos

$\displaystyle r_{p} = R_{m} + \frac{d_{m}- R_{e}}{d_{e} - d_{m}} (R_{s} + R_{m})$

Ahora el radio máximo de la penumbra se obtiene cuando$d_e = a_e (1-e_e)$(Tierra en el perihelio) y$d_m = a_m (1+ e_m)$(Luna en apogeo). En este caso obtenemos$r_p \approx 3650$km y un ancho de$7300$kilómetros

Si en cambio tomamos la distancia promedio de la Tierra, obtenemos$r_p = 3600$km, por lo que un total de$7200$km, no muy lejos de la respuesta de @uhoh.

En el caso de ancho mínimo, tomamos$d_e = a_e (1+e_e)$(Tierra en el afelio) y$d_m = a_m (1- e_m)$(Luna en perigeo). entonces obtenemos$r_p = 3400$km, por lo que un total de$6800$kilómetros

En cualquier caso, el ancho es aproximadamente el doble del diámetro de la Luna ($7000$km), pero observe que esto es solo una coincidencia y se debe al hecho de que los diámetros angulares de la Luna y el Sol están muy cerca uno del otro. De hecho, simplificando la ecuación anterior, podemos despreciar$R_e$en el numerador,$d_m$en el denominador y aproximado$R_s -R_m$con solo$R_s$. Entonces vemos que

$\displaystyle r_p = R_m + \frac{d_m}{d_e} R_s = R_m \Big(1+ \frac{R_s / d_e}{R_m / d_m} \Big)$

pero$R_s / d_e$y$R_m / d_m$son los diámetros angulares del Sol y la Luna, por lo tanto la fracción es aproximadamente 1 (en realidad 1.03 en promedio) y recuperamos$r_p \approx 2 R_m$. Imagen © Flavio Salvati 2020

Las otras respuestas son geniales, pero si quieres una herramienta útil para explorar los eclipses próximos y pasados, ¡echa un vistazo a este sitio web genial !

Le permite buscar todos los eclipses (solar y lunar + tránsitos de Mercurio y Venus) para el pasado y los próximos dos siglos. Aún más interesantes son las huellas de las sombras de las que puedes obtener tanto un resumen década por década como un análisis detallado de cada eclipse. ¿Y qué hay de simular la vista del cielo? si tambien hace eso!!!

Curiosamente, en la década de 2040 habrá varios eclipses solares de formas extrañas, como el total que tendrá lugar el 9 de abril de 2043 sobre el este de Rusia, que está "recortado" porque el sol aún no ha salido al comienzo del evento:

...así que supongo que, como la mayoría de las veces, la respuesta completa es " es complicado... " ¡pero diviértanse!