¿Por qué hay un factor de 1/2 en la energía de interacción de un dipolo inducido con el campo que lo induce?

La fuerza sobre un dipolo colocado en un campo eléctrico viene dada por$\mathbf{F} = (\mathbf{p}\cdot \nabla)\mathbf{E}$(ver, por ejemplo, Griffiths, 3ª edición, eq. 4.5). Recordar que,

$$\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}) = \mathbf{p}\times (\nabla\times \mathbf{E}) + \mathbf{E}\times(\nabla\times \mathbf{p})+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{p}$$ Asumir $\nabla\times \mathbf{E} = 0$(Justificaré esto al final, confía en mí por ahora). Si el momento dipolar es permanente, $\mathbf{p} = \mathrm{const}.$, el segundo y cuarto términos anteriores son cero, y la expresión de la fuerza se puede reescribir, $$\mathbf{F}=\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})\quad\Rightarrow\quad U=-\int_{r_a}^{r_b} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\mathbf{p}\cdot \mathbf{E} |_{r_a}^{r_b}$$ Sin embargo, si $\mathbf{p}$no es una constante, sino $\mathbf{p} = \alpha\mathbf{E}$, dónde $\alpha$es la polarizabilidad, el cuarto término no es cero, y $$\begin{split} \nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}) &= 2\alpha\mathbf{E}\times (\nabla\times \mathbf{E}) + 2\alpha(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E}\\ &= 0+2(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E} \end{split}$$ Por lo tanto, $$U=-\int_{r_a}^{r_b} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\int_{r_a}^{r_b}\frac{1}{2}\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})=-\frac{1}{2} \mathbf{p}\cdot\mathbf{E} |_{r_a}^{r_b}$$ La única cuestión pendiente es la justificación de la suposición. $\nabla\times\mathbf{E}=0$. De la ecuación de Maxwell relevante, $\nabla\times\mathbf{E}= - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$. Si sus campos son estáticos, $\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0$, y hemos terminado.

En una trampa óptica, la aplicación discutida en el artículo anterior, el campo no es estático y debemos ser un poco más cuidadosos. Se dispone una trampa óptica contrapropagando dos rayos láser idénticos. Suponiendo que los frentes de las vigas son aproximadamente planos,

$$\mathbf{E} = \mathbf{E_1} + \mathbf{E_2}\\ \mathbf{B} = \mathbf{B_1} + \mathbf{B_2} = (\frac{1}{c}\mathbf{\hat{k}}\times\mathbf{E_1}) + (\frac{1}{c}(\mathbf{-\hat{k}})\times\mathbf{E_2})$$ Si los haces están dispuestos de modo que estén en fase ( $\mathbf{E_1} = \mathbf{E_2}$), tenemos $\mathbf{B} = 0$en todo momento y asi $\nabla\times\mathbf{E}=0$.

Esa es la matemática, entonces, pero ¿cuál es la intuición? A primer orden, hay dos contribuciones a cualquier cambio en la cantidad$-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}$: el cambio de$\mathbf{p}$en constante$\mathbf{E}$y el cambio en$\mathbf{E}$en constante$\mathbf{p}$. Pero en realidad no hay fuerza que se oponga al primero de estos cambios: estrictamente hablando, la energía del dipolo debería ser solo la integral del segundo de ellos. Para un dipolo permanente, el primer cambio es cero, por lo que escribimos la energía como$-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}$. Pero para un dipolo inducido, este ya no es el caso. La polarizabilidad lineal nos dio un factor de$1/2$, sino relaciones más generales entre$\mathbf{p}$y$\mathbf{E}$puede darte respuestas más complicadas.

Porque el área negra es la mitad del cuadro de abajo.

Para explicar: mueva el dipolo de un área sin campo a un área de intensidad de campo E. Mientras lo hace, hay una fuerza proporcional al momento del dipolo y al gradiente de E. Para un dipolo fijo, esta fuerza depende solo de la gradiente (línea discontinua horizontal). Pero para un dipolo inducido, el momento dipolar depende de E y crece linealmente a medida que se mueve desde el campo cero hasta la fuerza máxima, por lo que en promedio es solo la mitad de fuerte durante ese movimiento (línea diagonal sólida).