¿Por qué es seguro suponer que K = 3/2kT en un gas autogravitatorio?

Usaré algunos conceptos de mecánica estadística, espero que esté familiarizado con algunos de los conceptos.

Considere un gas de$N$partículas de masa$m$con función hamiltoniana

$$H(\bar{q}, \bar{p}) = \sum_{i=1}^N {|\vec{p}_i|^2 \over 2 m} + U(\bar{q})$$

Aquí,$\bar{q} = (\vec{q}_1,\vec{q}_2,... \vec{q}_N)$son la posición de las partículas y$\bar{p} = (\vec{p}_1,\vec{p}_2,... \vec{p}_N)$son sus momentos.$U(\bar{q})$es el potencial, puede ser por ejemplo el potencial gravitacional:

$$U(\bar{q}) = {1 \over 2}\sum_{i \neq j} G{m^2 \over |\vec{q}_i-\vec{q}_j|}$$

si la temperatura$T$es fijo, significa que podemos trabajar en el Conjunto Canónico y la probabilidad de que nuestro sistema esté en una configuración particular$(\bar{q}, \bar{p})$es dado por

$$\mathcal{P}(\bar{q}, \bar{p}) = \frac{e^{-\beta H(\bar{q}, \bar{p})}}{\displaystyle \int {d\bar{q}d\bar{p} \over h^{3N}N!} \ e^{-\beta H(\bar{q}, \bar{p})}}$$

dónde$\beta = {1 \over k_B T}$.

La energía cinética promedio del sistema se obtiene integrando la energía cinética sobre la distribución

$$\left< K_E \right> = \displaystyle \int K_E(\bar{p})\mathcal{P}(\bar{q}, \bar{p}) {d\bar{q}d\bar{p} \over h^{3N}N!} = \displaystyle \int \left(\sum_{i=1}^N {|\vec{p}_i|^2 \over 2 m} \right)\mathcal{P}(\bar{q}, \bar{p}) {d\bar{q}d\bar{p} \over h^{3N}N!}$$

Ahora, desde$K_E$no depende de$\bar{q}$, podemos separar la integral en dos partes, una sobre los momentos y otra sobre las posiciones.

$$\left< K_E \right> = \frac{\displaystyle \int d\bar{q}d\bar{p} \left(\sum_{i=1}^N {|\vec{p}_i|^2 \over 2 m} \right)e^{-\beta H(\bar{q}, \bar{p})}}{\displaystyle \int d\bar{q}d\bar{p}\ e^{-\beta H(\bar{q}, \bar{p})}} = \frac{\displaystyle \int d\bar{p} \left(\sum_{i=1}^N {|\vec{p}_i|^2 \over 2 m} \right)e^{-\sum_{i=1}^N \beta{|\vec{p}_i|^2 \over 2 m}}}{\displaystyle \int d\bar{p}\ e^{-\sum_{i=1}^N \beta{|\vec{p}_i|^2 \over 2 m}}} \frac{\displaystyle \int d\bar{q}e^{-\beta U(\bar{q})}}{\displaystyle \int d\bar{q}\ e^{-\beta U(\bar{q})}}$$

La integral en$\bar{q}$simplifica, y por lo tanto la energía cinética promedio no depende del potencial . Continuando con el cálculo, encontramos

$$\require{cancel}\left< K_E \right> = \frac{\displaystyle \int d\bar{p} \left(\sum_{i=1}^N {|\vec{p}_i|^2 \over 2 m} \right)\prod_{i=1}^N e^{- \beta{|\vec{p}_i|^2 \over 2 m}}} {\left( \displaystyle \int d\vec{p}\ e^{-\beta{|\vec{p}|^2 \over 2 m}}\right)^N} = {\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} dp {p^2 \over 2 m} e^{- \beta{p^2 \over 2 m}}} \frac{3N \left(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} dp\ e^{- \beta{p^2 \over 2 m}}\right)^{\cancel{3N}-1}} {\cancel{\left(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} dp\ e^{-\beta{p^2 \over 2 m}}\right)^{3N}}}$$

Las integrales gaussianas se resuelven fácilmente y producen

$$\left< K_E \right> = 3N {\sqrt{2\pi m} \over 2}(k_BT)^{{3\over 2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi m k_B T}} = {3 \over 2}Nk_BT$$

Sé que estos cálculos pueden parecer engorrosos, si nunca los has visto. Siéntase libre de pedir aclaraciones sobre pasajes que he hecho demasiado apresuradamente.