¿Cómo demostrar que el Criterio de Jeans para Masa, Radio y Densidad son equivalentes?

Lo que quieres hacer es usar la relación entre Masa, Radio y Densidad. La expresión adecuada debe ser

$$\rho_c = \frac{M_c}{(4/3) \pi R_c^3}$$

Tus tres condiciones de Jeans son$M_c > M_J$,$R_c > R_J$, y$\rho_c > \rho_j$. Usando la relación anterior, puede transformar cualquiera de las tres condiciones en una de las otras.

Por ejemplo, pasando de$M_c > M_J \rightarrow R_c > R_J$se hace de la siguiente manera.

$$M_c = \frac{4}{3}\pi R_c^3 \rho_c > (\frac{5kT}{G \mu m_H})^{3/2} (\frac{3}{4 \pi \rho_c}) ^{1/2}$$

Ahora, resolviendo para$R_c$da

$$R_c^3 > (\frac{5kT}{G \mu m_H})^{3/2} (\frac{3}{4 \pi \rho_c}) ^{3/2}$$

$$R_c > (\frac{15kT}{4 \pi G \mu m_H \rho_c})^{1/2} \equiv R_J$$

Las otras transformaciones siguen de manera similar.