¿Por qué es necesaria la introducción de un volumen de cuantificación para la cuantificación del campo EM?

He estado trabajando en la cuantización del campo electromagnético, y cada fuente que encuentro introduce un volumen de cuantización con condiciones de contorno periódicas en el proceso, en el que ajustamos la solución general de A ( X , t ) . ¿Por qué es esto necesario? Entiendo que esto nos permite considerar una suma infinita numerable sobre vectores de onda, en lugar de uno incontable, ya que los vectores de onda están hechos para satisfacer las condiciones de contorno periódicas.

Tengo la vaga impresión de que tiene algo que ver con la ortogonalidad de las funciones de onda (soluciones a la ecuación de onda del campo antes de la cuantificación), por lo que la integración de la siguiente manera produce una función delta

∑ k k ′ ∫ d X mi i ( k − k ′ ) X = d ( k − k ′ )

pero entonces creo que esto debería funcionar igualmente en el caso continuo

∫ ∫ d k d k ′ ∫ d X mi i ( k − k ′ ) X = d ( k − k ′ )

¿Qué no estoy entendiendo? ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Comentario adicional: ¿Por qué está etiquetado con QFT, pero estás hablando de "funciones de onda"?
Ese es un mal uso de la terminología de mi parte, supongo que la ecuación de onda podría ser más adecuada. Estaba pensando en soluciones a la ecuación de onda del campo antes de la cuantización. Editar: Pensándolo bien, la ecuación de onda es mucho peor, ha sido un día largo, ¿qué sugieres?
Es una ecuación de onda, de acuerdo, y el campo aún los cumple como una ecuación de operador después de la cuantización. Sin embargo, en contextos cuánticos, la "función de onda" generalmente se reserva para soluciones a la ecuación de Schrödinger en la representación de posición.

Respuestas (2)

La cuantificación en un volumen finito no es específica del campo electromagnético, y no es una necesidad, ni para el campo electromagnético ni para ningún otro.

En general, se comporta mejor cuantificar en un volumen finito porque no aparecen divergencias de tipo infrarrojo al permitir momentos arbitrariamente bajos (ya que no caben longitudes de onda arbitrariamente largas en el volumen finito), y porque grandes cantidades como la energía no resultarán ser infinito, mientras que, naturalmente, por ejemplo, para una densidad de energía distinta de cero (vacío) y un volumen infinito, la energía (vacío) también será infinita.

Pero también puede cuantificar en volumen infinito y tener integrales de Fourier sobre momentos en lugar de sumas de Fourier, no hay nada que lo prohíba, y "generalmente" (es decir, en mi experiencia limitada) QFT se realiza en volumen infinito.

Cuando dice que la energía es finita en un volumen finito, ¿está considerando el hamiltoniano ordenado normal (es decir, con o sin energía de punto cero)?
@Julius: Ah, la energía del vacío probablemente fue un mal ejemplo porque aún es divergente en un volumen finito si no hay un límite de impulso superior. Para que mis declaraciones sean correctas, tendríamos que considerar una teoría renormalizada donde se haya eliminado la divergencia UV, donde la energía total aún sería infinita en un volumen infinito (a menos que la densidad de energía del vacío se establezca en 0). Mi punto aquí es que las densidades distintas de cero (de "cualquier cosa") conducirán a infinitos (de la forma d ( 0 ) , por lo general) en volumen infinito.

Una razón para la caja es que la expansión de campo de Fourier en condiciones macroscópicas estables (radiación térmica, oscilaciones de cavidad) funciona bien solo para volumen finito. Para un volumen infinito, la integral de Fourier de tal campo estacionario es problemática, porque la función de campo no es integrable L2.

Esto es algo similar a lo que estaba pensando, ¿hay algún teorema en el análisis de Fourier que respalde esto?
Teorema de Plancherel: en.wikipedia.org/wiki/…
¿Por qué es necesaria la introducción de un volumen de cuantificación para la cuantificación del campo EM?
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