¿Por qué el tiempo propio no está definido para intervalos similares al espacio y a la luz?

Según tengo entendido, el momento adecuado , τ , entre dos eventos en el espacio-tiempo se define en términos del intervalo de espacio-tiempo d s 2 = η m v d X m d X v , tal que

d τ = − d s 2
(donde estamos usando la firma "principalmente +" con C = 1 ).

Ahora, para intervalos de tiempo , para los cuales d s 2 < 0 , es claro que el tiempo propio está bien definido ya que la cantidad − d s 2 es positivo y, además, siempre se puede encontrar un marco en el que los dos eventos ocurren en el mismo punto del espacio, de modo que se puede construir una línea de mundo que conecta los dos eventos, a lo largo de la cual un observador puede viajar, en reposo con respecto a ambos. eventos, tal que d τ = − d s 2 = d t .

Sin embargo, ¿por qué es el caso de que para space-like , d s 2 > 0 , e intervalos de luz , d s 2 = 0 , la noción de tiempo propio es indefinida (o tal vez mal definida)?

Para el caso similar al espacio , entiendo que, heurísticamente, uno no puede construir un camino entre los dos eventos a lo largo del cual un observador puede viajar y, en este sentido, el tiempo adecuado no tiene sentido, ya que no existe una línea de tiempo que conecte los eventos y, por lo tanto, no hay reloj. puede pasar por ambos eventos. Sin embargo, ¿puede verse esto simplemente examinando la definición de tiempo propio en términos del intervalo de espacio-tiempo? ¿Es simplemente que la cantidad − d s 2 se volverá imaginario y, por lo tanto, claramente no se puede usar para representar ningún intervalo de tiempo físico?

Asimismo, para un intervalo similar a la luz , solo un rayo de luz puede pasar entre ambos eventos y como no hay un marco de reposo para la luz, no se puede construir un marco en el que un reloj esté en reposo con respecto al rayo y pase por ambos eventos. . Sin embargo, puramente en términos del intervalo de espacio-tiempo, ¿es simplemente porque la cantidad − d s 2 es igual 0 , por lo que la noción de tiempo propio está mal definida ya que no existe un mapa invertible entre los marcos de referencia (aquí estoy pensando en términos de dilatación del tiempo, t = γ τ y así durante un intervalo de luz, γ → ∞ lo que significa que la relación inversa τ = t γ está mal definido)?!

Creo que esto es esencialmente correcto. Sin embargo, para ser preciso, debe hablar en términos de geodésicas, o al menos curvas suaves que están en todas partes (espacio | tiempo), como creo, porque puede construir en todas partes curvas temporales que conectan dos eventos separados en el espacio si está dispuesto. que no sean uniformes en todas partes (simplemente avanzan hacia algún evento en el futuro causal de ambos eventos, y luego retroceden hasta el segundo evento), o no en todas partes son temporales (alrededor de las esquinas de la curva anterior). No estoy poniendo esto como una respuesta porque no creo que sea una buena.
Aunque me gusta la pregunta, sugeriría abandonar la búsqueda del "significado físico más profundo". La matemática es realmente todo lo que hay que hacer. Puedes interpretar d s 2 < 0 como desee, pero no cambiará ninguna predicción física de la teoría.
@SolenodonParadoxus Mi principal problema es por qué el tiempo adecuado no está definido para intervalos similares al espacio y a la luz.
@ user35305 Eso es lo que digo, simplemente no lo es. ¿Por qué crees que debería haber una razón?
@SolenodonParadoxus Supongo que solo estoy tratando de complicar demasiado las cosas para mí, tratando de extrapolar un significado profundo de una definición.

Respuestas (2)

No estoy seguro de qué tipo de respuesta estás buscando; Parece que lo has dicho todo en tu pregunta. La estructura causal del espacio-tiempo es tal que existen conos de luz, y el cuadrado de los vectores puede ser positivo o negativo. Cuando el vector es temporal, llamamos tiempo propio a su longitud. Cuando es espacial, llamamos a la longitud distancia propia. El tiempo adecuado no está definido para eventos separados espacialmente precisamente porque están espaciados espacialmente . ¿Por qué esperarías que la noción de tiempo tuviera sentido en tal contexto?

Aún así, podría apreciar una razón más física. La mayoría de la gente, incluido Einstein, diría que la definición de tiempo propio a lo largo de una línea universal (es decir, una curva en el espacio-tiempo) es el tiempo medido por un reloj llevado por un observador que se mueve a lo largo de esa línea universal. Bueno, los observadores no pueden moverse más rápido que la luz. Y en relación con algún observador fijo (arbitrario), cuanto más te acercas a la velocidad de la luz, menor es tu tiempo propio, por lo que los intervalos similares a la luz tienen un tiempo propio nulo.

Notarás que básicamente estoy diciendo lo mismo dos veces: el tiempo adecuado no está definido para intervalos similares al espacio por definición . Cuando el intervalo es espacial no ponemos el signo menos y lo llamamos distancia propia. También podría preguntarse por qué la distancia adecuada no está definida para intervalos de tiempo, y debería darse cuenta de que obtendría la misma respuesta nuevamente pero con las palabras intercambiadas.

Creo que he estado pensando demasiado en la situación y tratando de obtener un significado físico profundo de algo que es solo una definición. Tenía la esperanza de entender si había una motivación física para definir el tiempo adecuado como d τ = − d s 2 ?! Me parece que si uno define el tiempo propio de un objeto como el tiempo medido en el marco de reposo de ese objeto, entonces en este marco tenemos que d s 2 = − d τ 2 y luego, desde d s 2 es invariante de Lorentz, esto automáticamente garantiza que el tiempo adecuado es una cantidad invariante de Lorentz?!
@user35305: Yo diría que eso es todo; el tiempo propio, como la masa en reposo, se define en un marco particular y, por tanto, es invariable por definición. Entonces resulta que es igual al cuadrado de algún cuatro vector.
Está bien. Entonces, ¿cuál es la razón por la que no tiene sentido discutir la noción de que un fotón tiene el tiempo adecuado porque no hay marco de reposo para un fotón? De manera similar, para las separaciones similares al espacio, no hay una línea de tiempo entre los dos eventos y, por lo tanto, ¿una noción de tiempo adecuado no es posible?
@user35305: Sí, de hecho.

Tienes razón, excepto en lo que respecta a los intervalos de luz.

Un elemento importante que tal vez te estés perdiendo y que puede ser la razón de tu incomprensión es que el espacio y el tiempo no están en pie de igualdad, su simetría se limita estrictamente a la simetría de Lorentz. Esta es la razón por la que no sirve de nada buscar ninguna similitud entre el espacio y el tiempo más allá de la simetría de Lorentz, y de la misma manera no existe una ley de simetría entre intervalos espaciales y temporales más allá de la simetría de Lorentz.

Como escribiste, puedes distinguir intervalos de tiempo, de luz y de espacio. Las líneas temporales temporales están generando el tiempo adecuado. El tiempo adecuado de las líneas de mundo similares al espacio no tiene sentido porque ninguna partícula ni ningún otro fenómeno puede viajar en líneas de mundo similares al espacio y, por esta razón, las líneas de mundo similares al espacio no pueden generar ningún tiempo adecuado.

En contraste, las líneas de mundo similares a la luz son diferentes de las líneas de mundo similares al espacio porque el intervalo cero está dentro del dominio de definición de la función raíz parabólica, mientras que los intervalos negativos de las líneas de mundo similares al espacio no lo están. Las partículas y otros fenómenos (como los campos) que se mueven en v = c viajan en líneas de tiempo similares a la luz, y su tiempo propio es 0, ¡no está indefinido!

Además, el tiempo adecuado de las líneas de tiempo similares a la luz no está "mal definido": tiene razón cuando dice que el factor de Lorentz va hacia el infinito. Pero el factor de Lorentz inverso en la ecuación τ = d t / γ va a cero, eso significa que cualquier tiempo de coordenadas observado de fenómenos similares a la luz corresponde al tiempo propio cero. Sin embargo, el hecho de que el tiempo propio de los fenómenos similares a la luz sea cero impide la transformación de Lorentz, lo que conduciría a problemas de divisiones por cero: los fenómenos similares a la luz no tienen un marco de referencia que pueda transformarse en otros marcos de referencia. Pero la ecuación τ = d t / γ no depende de la transformación de Lorentz porque puede derivarse directamente de los dos postulados de la relatividad especial.

Entonces, en términos del intervalo de espacio-tiempo, ¿el tiempo propio no está definido para intervalos similares al espacio porque la definición d τ = − d s 2 ¿Implica que el tiempo propio se volvería imaginario y por lo tanto no físico? Además, habría pensado que el tiempo adecuado para un fotón no estaría definido, si no fuera porque no hay un marco de reposo para un fotón y, por lo tanto, ¿no es posible que un "reloj" viaje a lo largo de la línea de tiempo de un fotón?
Intervalos espaciales: sí, la situación física se refleja exactamente en la ecuación matemática.
Intervalos de luz: Su constelación es muy particular, tomemos por ejemplo una partícula sin masa (fotón). Como el intervalo de espacio-tiempo es cero, eso significa que el punto de emisión y el punto de absorción son adyacentes en el espacio-tiempo, están en el mismo lugar. Su reloj mostrará cero porque su distancia recorrida (en el espacio-tiempo) es cero.
Sin embargo, mi punto es que no puede estar en reposo con respecto a un fotón y, por lo tanto, no puede definir un tiempo adecuado para él, ya que el tiempo coordinado solo es igual al tiempo adecuado en el marco de reposo del objeto. Un observador que ve un fotón emitido por una fuente y luego por un detector, sin duda medirá un intervalo de tiempo distinto de cero (coordenadas) entre los dos eventos.
Su argumento no es pertinente porque está mezclando el intervalo de tiempo (que no es cero) y el intervalo de espacio-tiempo (que es cero).
Creo que no entendí bien tu comentario anterior para ser honesto.
¿Por qué el tiempo propio no está definido para intervalos similares al espacio y a la luz?
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