¿Por qué el momento depende de la distancia desde el punto de rotación hasta la fuerza?

¿Por qué?

Porque un momento es una manifestación de una fuerza a distancia, de la misma manera que una velocidad es una manifestación de una rotación a distancia. Dados dos puntos A y B sabes que

La fuerza en B causa un par en A , de manera similar a como una rotación en B causa velocidad en A.

Entonces, ¿por qué es eso?

Tanto las fuerzas/torques como las velocidades/rotaciones son tornillos 3D que contienen las siguientes propiedades. a) Una línea de dirección, b) una magnitud, c) un paso. Olvídate de la b) y la c) por ahora y concéntrate en la línea.

¿Cómo se describe una línea en 3D? Una línea tiene 4 grados de libertad y generalmente se representa usando 6 componentes con algo llamado coordenadas de Pluecker . Hay dos vectores, cada uno con 3 componentes. El primer vector, lo llamo$\vec{F}$da la dirección de la línea, pero su magnitud no es importante. Entonces se usan dos grados de libertad del vector. El segundo vector, lo llamo$\vec{M}$da el momento de la línea con respecto al origen y se usa para describir el punto más cercano de la línea al origen. También usa dos grados de libertad porque la ubicación a lo largo de la línea no es importante. Representa a) El momento de una fuerza a lo largo de la línea, o b) la velocidad de un cuerpo que gira alrededor de la línea. La ubicación de la línea está dada por

De manera similar para los movimientos

Así que el momento es una manifestación de una línea a distancia.

Entiendo cómo cuando estoy girando una llave, si la llave es más corta, es más difícil girarla, pero no entiendo POR QUÉ.

Supongamos que se puede desenroscar un perno con una vuelta y el proceso consume$E$Julios. Entonces desde$w=F d$, tenemos

La razón por la que el par (fuerza de rotación) depende de la distancia$d$del pivote de rotación (es decir, por qué el par es un momento) es el siguiente:

El par se define como un cambio en el momento angular; si la masa es constante eso significa un cambio en la velocidad angular.

Para lograr un cambio en la velocidad angular usando una fuerza tangencial$F$, necesitamos recorrer una mayor distancia cuanto más lejos estamos del centro. O en otras palabras, fuerza$F$solo cambia la velocidad lineal; lograr un cambio en la velocidad angular requiere más cuanto más lejos estemos.

La mejor definición de par (o momento) es el trabajo por unidad de ángulo de rotación (en julios por radianes) que puede realizar una fuerza que actúa de una manera que tiende a provocar una rotación. Esto implica que desea el componente de la fuerza que actúa a lo largo de un arco, multiplicado por la longitud del arco, dividido por el ángulo (en radianes). Pero la longitud del arco s = rθ y s/θ = r. Entonces terminas multiplicando un componente de fuerza por un radio.

Intuitivamente, el torque es la cantidad de "empuje rotacional" que puedes darle a algo. El principio que mencionas es el de cómo funciona una llave inglesa: aumenta la$r$de su mano y lo que sea que esté tratando de torcer, por ejemplo, un perno, y por lo tanto aumenta el par.

O, por el contrario, si nos dieran un juego de llaves y nos dijeran que intentáramos girar varios pernos con ellas, nos daríamos cuenta de que las llaves largas girarían el perno más fácilmente que las cortas, y si tomaras una llave larga y la usaras con tu mano cerca del cerrojo, no sería tan fácil. Por lo tanto, si tuviéramos la tarea de desarrollar una medida de la potencia de giro de un perno que se puede ejercer al empuñar una llave determinada, es necesario tener en cuenta tanto la fuerza directa aplicada como la longitud de la llave.

La expresión matemática, entonces, simplemente refina esto al describir la forma precisa de la dependencia. (Además, la parte del seno, dejada en la expresión dada en el OP, efectivamente solo refleja que es la parte perpendicular de la fuerza la que ejerce el par. Esto debería tener sentido, ya que la velocidad de rotación siempre es perpendicular al vector radial. Por lo tanto, para cambiar la velocidad de rotación, necesita una fuerza en esa dirección).

Entiende que hay una compensación. Puede aplicar una fuerza menor con una llave mayor, pero debe moverla una distancia mayor (longitud de arco) para lograr la misma cantidad de trabajo (fuerza x distancia).

Intuición, creo que tal vez se deba a que cuando aplicas fuerza a una distancia mayor, hay más de ese objeto para seguir con el movimiento que da la fuerza. Cuando agito mi lápiz mientras pellizco el extremo, se mueve mucho más que cuando lo sostengo más cerca de la punta del lápiz porque hay más lápiz para seguir el movimiento que le di al lápiz cuando lo agito cuando es más largo . Imagina un ángulo de 30 grados, aunque sea angosto, si las líneas que forman el ángulo son largas, es bastante amplio, creo que es por eso que la distancia afecta el momento.

Otra cosa, aunque un factor pequeño, podría ser porque si aprieta el lápiz más cerca de la punta, eso significa que parte del lápiz está detrás de sus dedos, y el peso de esa parte del lápiz puede hacer que el movimiento disminuya porque sus dedos tienen que producir lo suficiente fuerza para mover todo el lápiz para que se balancee y se mueva, la punta del lápiz no se doblará para que se balancee.

Parece que ha hecho una pregunta curiosa. Tengo 14 años y resuelvo tales preguntas con mi imaginación sin ninguna derivación de fórmulas matemáticas complejas o lo que sea. así que solo imagine un segmento de línea y haga dos puntos (pivote) al principio) y en el lado más externo ahora piense en mover esa línea sobre ese pivote oke {entonces vería que una fuerza en la esquina está moviendo el segmento de línea en movimiento circular } ahora tome otro segmento de línea, haga dos puntos (pivote) en el inicio) y en el lado más externo y el tercero en el centro aplique fuerza en el punto más externo en la línea con el pivote en el centro y ahora puede ver que la línea se está moviendo en una dirección circular. ahora aplica un poco de fuerza entre el punto donde ves menos movimiento y en el centro donde no ves movimiento. ahora solo vaya de nuevo al primer paso y muévalo desde el extremo más externo, verá que el lado exterior del segmento de línea tiene más fuerza que el interior y si tiene más fuerza que trataría de empujar el pivote hacia atrás y, por lo tanto, liderar para moverse hacia adelante. y si la fuerza se aplica cerca del pivote, entonces, la parte interior tiene más potencia y trataría de empujarse a sí misma y al pivote más allá, al mismo tiempo que lo estaría empujando hacia atrás. LA FUERZA SE APLICA POR DEBAJO DE CIERTO PUNTO EN EL QUE IRÍA EN MENOS . MI CONSEJO SERÍA COMPRENDER EL TORQUE COMPLETO Y LUEGO APLICARLO A ESTO. Y SER CURIOSO :-) y si la fuerza se aplica cerca del pivote, entonces, la parte interior tiene más potencia y trataría de empujarse a sí misma y al pivote más allá, al mismo tiempo que lo estaría empujando hacia atrás. LA FUERZA SE APLICA POR DEBAJO DE CIERTO PUNTO EN EL QUE IRÍA EN MENOS . MI CONSEJO SERÍA COMPRENDER EL TORQUE COMPLETO Y LUEGO APLICARLO A ESTO. Y SER CURIOSO :-) y si la fuerza se aplica cerca del pivote, entonces, la parte interior tiene más potencia y trataría de empujarse a sí misma y al pivote más allá, al mismo tiempo que lo estaría empujando hacia atrás. LA FUERZA SE APLICA POR DEBAJO DE CIERTO PUNTO EN EL QUE IRÍA EN MENOS . MI CONSEJO SERÍA COMPRENDER EL TORQUE COMPLETO Y LUEGO APLICARLO A ESTO. Y SER CURIOSO :-)