Torque cuando la fuerza externa neta es cero

Aquí está mi derivación de este resultado. Espero que le sea útil:

Digamos que tenemos n fuerzas diferentes$F_1, F_2, F_3... F_n$, aplicado en n puntos diferentes. Ahora elegimos dos centros.$P$y$Q$, y exprese los vectores radiales (1) desde el punto$P$a cada uno de los n puntos (donde se aplican las fuerzas) como$r_1, r_2, ... r_n$(2) desde el punto$Q$a cada uno de los n puntos (donde se aplican las fuerzas) como$R_1, R_2, ... R_n$.

Entonces el torque total alrededor de P es:$\tau_{p}$=$\sum_{i=1}^{n} r_i \times F_i$dónde$\times$denota producto cruzado.

El par total alrededor de Q es:$\tau_{q}$=$\sum_{i=1}^{n} R_i \times F_i$

Lo que queremos mostrar es que$\tau_{p} = \tau_q$dadas las restricciones que:

$$\sum_{i=1}^{n}F_i = 0$$ (la fuerza neta es cero) y $$r_i - r_j = R_i - R_j$$ para todo i, j (los n puntos son fijos. Por lo tanto, las separaciones relativas no cambian)

Entonces, básicamente, escribes las sumas explícitamente:

$$\tau_p = \sum_{i=1}^{n} r_i \times F_i = (r_1 - r_2) \times F_1 + (r_2 - r_3) \times (F_1+F_2) + (r_3 - r_4) \times (F_1+F_2+F_3) + ... + (r_{n-1}-r_n) \times (F_1+...+F_{n-1}) + r_n \times (F_1+F_2+...+F_n)$$

Similarmente,

$$\tau_q = \sum_{i=1}^{n} R_i \times F_i = (R_1 - R_2) \times F_1 + (R_2 - R_3) \times (F_1+F_2) + (R_3 - R_4) \times (F_1+F_2+F_3) + ... + (R_{n-1}-R_n) \times (F_1+...+F_{n-1}) + R_n \times (F_1+F_2+...+F_n)$$

Al introducir la segunda restricción, verá inmediatamente que todos los términos de las dos sumas son iguales excepto el último.

Así que solo tenemos que confirmar que:$R_n \times (F_1+F_2+...+F_n) = r_n \times (F_1+F_2+...+F_n)$

¡Esto es trivial ya que la primera restricción dice que la fuerza neta es cero! Por lo tanto, los últimos términos son simplemente cero.

Por lo tanto concluimos que$\tau_p = \tau_q$para cualquier p, q en el espacio.