¿Por qué el momento ADM y el momento angular están tan definidos?

En la forma ADM de la Relatividad General, debemos aplicar la descomposición 3+1 a todo el espacio-tiempo y cómo evolucionar el segmento de tiempo es arbitrario. Esta arbitrariedad se refleja en la arbitrariedad del vector$(N,N^a)$.

Suponga que la "coordenada espacial" de una partícula es fija y denote el vector tangente de su línea universal como$t^{\alpha}$, tenemos (ecuación 4.36 de su libro de texto)

$$t^{\alpha} = N n^{\alpha} + N^a e_a^{\alpha}$$ Y el hamiltoniano es el generador de la evolución en la dirección $t^{\alpha}$.

En el espacio-tiempo plano asintótico, tenemos coordenadas asintóticas de Minkowski$(\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z})$. En términos generales, para un observador en reposo en el infinito, su reloj es$\bar{t}$y su gobernante es$\bar{x},\bar{y},\bar{z}$. De ahora en adelante, denotaremos esta coordenada como$x^{\alpha}$.

Ahora, elijamos el intervalo de tiempo inicial como$\Sigma_{\bar{t}}$. En este intervalo de tiempo, elegimos$y^a$lo mismo que$\bar{x},\bar{y},\bar{z}$. Entonces en el infinito, que es plano, tenemos

$$n^{\alpha} = \delta^{\alpha}_{0}, e_a^{\alpha} = \delta^{\alpha}_a.$$ El vector de evolución ahora se convierte en $$t^{\alpha} = N\delta^{\alpha}_0 + N^a\delta^{\alpha}_a.$$ Si $N = 1$y $N^a = 0$, tenemos $$t^\alpha = (1,0,0,0)$$ Entonces, el hamiltoniano es el generador de la evolución en dirección $\bar{t}$. Es solo la energía de todo el espacio-tiempo, al menos para el observador en el infinito.

Si$N = 0$y$N^a = \delta^a_b$, tenemos

$$t^\alpha = \delta^{\alpha}_b$$ Entonces, el hamiltoniano es el generador de la evolución en dirección $x^b$. Es solo el impulso en la dirección. $x^b$de todo el espacio-tiempo, al menos para el observador en el infinito.

Si$N = 0$y$N^a = \phi^a = \frac{\partial y^{a}}{\partial \phi}$, tenemos

$$t^\alpha = \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial \phi}$$ Por ejemplo, para la rotación en $\bar{z}$dirección, tenemos $$\bar{x} = r\sin\theta\cos\phi, \; \bar{y} = r\sin\theta\sin\phi, \; \bar{z} = r\cos\theta$$ entonces tenemos $$t^{\alpha} = r\sin\theta(0,-\sin\phi, \cos\phi,0)$$ Entonces, el hamiltoniano es el generador de la rotación de evolución alrededor $\bar{z}$. Es solo el momento angular en la dirección $\bar{z}$de todo el espacio-tiempo, al menos para el observador en el infinito.