¿Por qué el Hodge dual es tan esencial?

Me parece antinatural que a menudo valga la pena reemplazar los objetos físicos con sus duales de Hodge. Por ejemplo, si el campo magnético se considera correctamente como una forma 2 y el campo eléctrico como una forma 1, entonces ¿por qué aparecen en las leyes de Ampere y Gauss como sus duales, es decir,

∫ ∂ METRO ⋆ B 2 = ∫ ∫ METRO ( 4 π j 2 + ∂ ⋆ mi 1 ∂ t )

∫ ∫ ∂ tu ⋆ mi 1 = 4 π q mi norte C

De manera similar, el momento angular se considera casi en todas partes como un pseudo-vector en lugar de una forma de 2. ¿Estas leyes tienen formulaciones que no usan duales de Hodge? ¿Es esto solo por simplicidad, ya que los tensores son menos familiares para la comunidad física que los vectores?

Quise decir que los tensores son menos familiares que los vectores, no las formas diferenciales. Así que la gente se siente más cómoda pensando en el campo magnético como su pseudo-vector asociado que como un tensor antisimétrico.
OP: "¿Estas leyes tienen formulaciones que no usan duales de Hodge?" - ¿Has consultado Wikipedia? Las leyes de Gauss y las leyes de Ampere pueden escribirse en términos de mi y B campos usando cálculo vectorial.
@JamalS Sí, pero tratar el campo magnético como un vector implícitamente usa su dual. Estoy buscando algo que exprese la ley de Ampere tratando B como una forma 2.
Tengo una buena imagen de lo que B → y mi → significan físicamente y qué efecto tienen sobre las partículas cargadas clásicas. Todavía no tengo una buena imagen de dos formas. Me gustaría, pero creo que tendré que esperar hasta que hice GR para obtener esto.
Puede disfrutar de las páginas 136-138 de supermath.info/ma430.pdf allí investigo un juguete de 5 dimensiones E y M donde la diferencia entre el campo eléctrico y magnético es más pronunciada.

Respuestas (1)

En el lenguaje de las formas diferenciales en el espacio-tiempo, la intensidad del campo 2 -forma F = mi ∧ d σ + B da la ley de Gauss para el magnetismo y la inducción de Faraday:

d F = 0 .
Mientras tanto, la excitación electromagnética 2 -forma H = − H ∧ d σ + D proporciona una formulación natural de la ley de Gauss y la ley circuital de Ampère:
d H = j ,
dónde j es la corriente eléctrica de 3 formas.

Por ejemplo, si el campo magnético se considera correctamente como una forma de 2 y el campo eléctrico como una forma de 1, entonces ¿por qué aparecen en las leyes de Ampere y Gauss como sus duales, es decir...

Porque es un rol cualitativamente diferente: F ser una forma cerrada es una propiedad necesaria para asegurar la conservación del flujo magnético y que la existencia de un potencial 1 -forma A para cual F = d A . Pero H , en lugar de la conservación del flujo magnético, expresa la conservación de la carga, con H actuando como un "potencial" para la corriente eléctrica j .

Por supuesto, si sabes que H ∝ ⋆ F , entonces puedes eliminar el ( D , H ) Los campos de excitación ponen todo en términos de ( mi , B ) solamente. O al revés, si lo deseas. Esto, naturalmente, introduce al menos un dual de Hodge implícito en las ecuaciones, como lo ha hecho anteriormente. Pero hacerlo oscurece el carácter fundamentalmente libre de métricas de las ecuaciones de Maxwell: el único lugar donde aparece la métrica es en el dual de Hodge. Entonces, en cambio, uno puede pensar en el dual de Hodge como proporcionando una relación constitutiva simple para el espacio libre, con el vacío teniendo su propio significado. D y H campos.

En ese tipo de presentación, la aparición del dual de Hodge es natural y necesaria para convertir el electromagnetismo en una teoría completamente predictiva: la métrica debe aparecer eventualmente , ¡pero las ecuaciones de Maxwell en sí mismas no tienen métrica!

Hay otras posibles relaciones entre H y F independiente de las ecuaciones de Maxwell per se, lo que lleva a teorías alternativas del electromagnetismo, como la teoría de Born-Infeld y la polarización del vacío de Heisenberg-Euler, etc. En general, los requisitos de que la relación sea local y lineal da 36 componentes independientes, que 15 son disipativos y no contribuyen a Lagrangian ("skewon") y 1 que contribuye a Lagrangian pero no afecta la propagación de la luz o la energía de estrés electromagnético (un "axión" fantasmal).

Para la presentación de forma diferencial del electromagnetismo que enfatiza los roles lógicamente independientes de F y H , un buen lugar para comenzar es arXiv: physics/0005084 de Hehl y Obukhov , ya que funciona exclusivamente en 1 + 3 descomposición y, por lo tanto, corresponde mucho más claramente a la presentación más habitual del electromagnetismo en términos de ( mi , B ) y ( D , H ) . También tienen el libro sobre esto: Fundamentos de electrodinámica clásica , aunque es más exigente.

Además, Gravitation de MTW tiene muchos buenos ejemplos de lo que sería F y H , aunque en la presentación de MTW corresponden al "tensor de Faraday" y al "tensor de Maxwell", respectivamente, y se diferencian por un factor de conversión.

¡Gracias por esta fantástica respuesta! Por lo que ha dicho aquí, parece que la respuesta a la pregunta del título es que el doble de Hodge no es completamente necesario, pero a menudo es conveniente y puede ser una forma útil de incorporar información adicional, por ejemplo, sobre la métrica.
@ZachMcDargh: Sí y no. No es necesario para las ecuaciones de Maxwell, pero la información que incorpora es necesaria para que EM sea totalmente predictivo. H ∝ ⋆ F de relaciones EM estándar ( mi , B ) con ( D , H ) , que es necesario, y como efecto secundario importante, conecta el cono de luz con la estructura causal del espacio-tiempo. En el libro de H&O, investigan un problema general H a b ∝ k a b C d F C d y algunas de las suposiciones sobre k para el cual existe incluso el cono de luz, y para el cual la métrica podría derivarse de él, hasta algún factor conforme.
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