¿Por qué el espín tiene un espectro discreto?

Recientemente estaba escribiendo sobre esto en wikipedia . La forma más intuitiva de ver por qué a un operador le gusta$S_z$tiene valores discretos se basa en su relación con los operadores de rotación:

$R_{internal}(\hat{z},\phi) = \exp(-i\phi S_z / \hbar)$

donde el lado izquierdo significa rotación de ángulo$\phi$acerca de$z$-eje, pero solo girando el "estado interno" de las partículas, no su posición espacial (consulte el artículo de wikipedia para obtener más detalles). Dado que una rotación de$\phi=720^\circ$[ver más abajo] es lo mismo que ninguna rotación (es decir, el operador de identidad), usted concluye que los valores propios de$S_z$solo pueden ser enteros o semienteros.

...al igual que una onda estacionaria en una cuerda circular tiene que tener un número entero de longitudes de onda.

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Espera, ¿por qué dije$720^\circ$no$360^\circ$?? Bueno, hay dos grupos matemáticos que plausiblemente podrían corresponder a la rotación en el mundo real:$SO(3)$y$SU(2)$. En$SO(3)$pero no$SU(2)$, girando$360^\circ$es lo mismo que no girar en absoluto. En AMBOS de ellos, girando$720^\circ$es lo mismo que no girar en absoluto. Entonces podemos estar totalmente seguros de que el$720^\circ$El operador de rotación es el operador de identidad, mientras que para$360^\circ$sería solo una suposición basada en la extrapolación de la intuición de la física clásica. ¡Mientras haya fermiones presentes, la conjetura es incorrecta! Rotación de un fermión por$360^\circ$corresponde a invertir el signo de su función de onda.

La razón más profunda es que los componentes del vector de espín (momento angular) generan el grupo de rotaciones. Este grupo es compacto, lo que significa que una rotación perpendicular a una dirección arbitraria necesariamente se cierra. Esto implica por razones matemáticas (válidas para todo grupo de Lie compacto) que sus representaciones como operadores en un espacio de Hilbert vienen solo en lotes discretos, y los valores propios de cualquier componente, en funciones generales de la etiqueta de la representación, deben en el caso compacto ser discreto

Por el contrario, la posición y el momento generan el grupo de Weyl no compacto (una extensión central de las traslaciones del espacio de fase), y una traslación a lo largo de una dirección arbitraria del espacio de fase nunca se cierra. Esto implica que los valores propios varían continuamente.

Tomaré una conjetura agitando la mano en esto.

La naturaleza es mecánica cuántica, es decir, está regida por ecuaciones mecánicas cuánticas que definen el movimiento, etc. Los lagrangianos clásicos son un caso límite principalmente para las grandes dimensiones.

La cuantificación aparece cuando las variables están restringidas, por ejemplo, en los confines de un pozo de potencial. Uno encuentra que solo se permiten valores cuantificados, por lo que en un potencial de confinamiento también se cuantificará el impulso siempre que haya niveles de energía discretos.

Entonces, la pregunta solo puede ser correcta si uno considera las partículas no confinadas y se convierte en:

"¿Por qué las partículas elementales no confinadas tienen un giro cuantificado en contraste con el momento o la energía, etc.?"

Mi respuesta intuitiva es: probablemente porque el espín es una rotación y las rotaciones están limitadas por el$0$a$2\pi$confinamiento de los valores de phi, una restricción finita, en contraste con el momento que puede ir de cero a infinito. Las restricciones son condiciones para la cuantificación.

Como ayuda en la intuición, observe la sección 14 de la mecánica cuántica de Schiff, separación en coordenadas esféricas de la ecuación de Schroedinger para potenciales esféricamente simétricos. . Las ecuaciones angulares no dependen del potencial y sus soluciones están cuantificadas.