Cuantización del espín de electrones

Te voy a dar, no una explicación rigurosa, sino un sentimiento.

La discretización del momento angular es consecuencia de la naturaleza cuántica de las partículas.

Imagine una partícula giratoria clásica, la variación de acción podría escribirse:

$\Delta S = J \Delta \theta$

dónde$J$es el momento angular, y$\theta$un angulo.

En este punto, no hay ninguna razón por la cual$J$debe tener valores discretos.

Ahora, pasemos a la mecánica cuántica. El punto principal es que, en mecánica cuántica,$\large \frac{S}{\hbar}$es una fase. Por ejemplo, si queremos calcular la amplitud de transición (propagador), tenemos:

$$<x't'|xt> = \int D \Phi ~e^{i\large \frac{\Delta S(\Phi)}{\hbar}}$$ donde se hace la suma para todos los caminos $\Phi$, con $\Phi(t) =x$y $\Phi(t') =x'$

Es muy claro, en esta expresión, que$\large \frac{S}{\hbar}$es realmente una fase.

Ahora, podemos escribir, formalmente,$e^{i\large \frac{\Delta S}{\hbar}}$como, para su pregunta, como$e^{i\large \frac{ J \Delta \theta}{\hbar}}$

Pero porque$\theta$es un ángulo, se identifica con$\theta + 2 \pi$, y si queremos eso$e^{i\large \frac{ J \Delta \theta}{\hbar}}$no cambia, necesitamos:

$$\frac{J (2 \pi)}{\hbar} = 2 \pi n$$ Eso es :

$$J = n \hbar$$

Ahora, si quieres ser más riguroso, se puede decir que, en mecánica cuántica, vamos a buscar representaciones unitarias de grupos. Por ejemplo, podemos mirar el grupo de rotaciones$SO(3)$. Este es un grupo compacto (debido a la identificación$\theta$con$\theta + 2 \pi$), por lo que podemos encontrar representaciones de dimensión finita. Para encontrar todas las representaciones, tenemos que considerar de hecho$SU(2)$. Las representaciones de$SU(2)$están etiquetados por un semi-entero o un entero:$0,1/2,1,3/2,2$, etc... En una representación$s$, tienes$2s+1$estados, etiquetados por$-s, -s+1,....,s-1,s$. para la representacion$s= 1/2$, tienes 2 estados etiquetados$-1/2, +1/2$

El giro de una partícula no es creado por una rotación de la partícula alrededor de sí misma. Es un efecto relativista. Pregúntese por qué el electrón en un átomo de hidrógeno se puede encontrar a ciertas distancias del núcleo y NO a CUALQUIER distancia. Es porque la función de onda interfiere consigo misma y hay distancias prohibidas porque allí la función de onda interfiere DESTRUCTIVAMENTE. Lo mismo con el giro. La diferencia es que la función de onda para el espín no dice DÓNDE está la partícula, no es una función de posición.

Con mucho gusto,

Sofía