¿Por qué el espacio-tiempo está curvado por la masa pero no por la carga?

La carga curva el espacio-tiempo. La métrica de un agujero negro cargado es diferente a la de un agujero negro sin carga. Los agujeros negros cargados (que no giran) se describen mediante la métrica de Reissner-Nordström . Esto tiene algunas características fascinantes, que incluyen actuar como un portal a otros universos, aunque lamentablemente es poco probable que sean físicamente relevantes. Hay algo de discusión sobre esto en las respuestas a la pregunta ¿Los objetos tienen energía debido a su carga? , aunque no es un duplicado. Cualquier cosa que aparezca en el tensor de tensión-energía curvará el espacio-tiempo.

Spin también tiene un efecto, aunque tengo que confesar que estoy fuera de mi zona de confort aquí. Para tener en cuenta el espín, tenemos que extender GR a la teoría de Einstein-Cartan . Sin embargo, a gran escala, el espín neto es efectivamente cero, y no esperaríamos que el espín tuviera ningún efecto significativo hasta que lleguemos a escalas cuánticas de longitud.

La gravitación se acopla a cualquier cosa dentro del tensor de tensión-energía, según lo dictan las ecuaciones de campo,

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 8\pi G T_{\mu\nu}$$

Tanto la carga como el momento angular afectan la curvatura del espacio-tiempo, ya que afectan la métrica. Por ejemplo, considere un agujero negro cargado giratorio, descrito por la métrica de Kerr-Newman,

$$\mathrm{d}s^2 = -\left( {\mathrm{d}r^2 \over \Delta + \mathrm{d}\theta^2} \right)\rho^2 + \left(\mathrm{d}t-\alpha \sin^2 \theta \mathrm{d}\phi\right)^2 \frac{\Delta}{\rho^2}-\left( (r^2+\alpha^2)\mathrm{d}\phi -\alpha \mathrm{d}t\right)^2 \frac{\sin^2 \theta}{\rho^2}$$

Los parametros$\alpha$y$\rho$dependen del momento angular y$\Delta$de hecho depende de la carga del agujero negro. Evidentemente, las formas de curvatura también dependen de éstas.

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¿Por qué el espacio-tiempo no se curva debido a otras fuerzas o aspectos de los cuerpos?

El espacio-tiempo se ve afectado por la presencia de otros campos. Por ejemplo, los campos eléctricos y magnéticos son descritos por Maxwell Lagrangian,

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

dónde$F=\mathrm{d}A$es la intensidad de campo, un cerrado$2$-forma. La teoría del campo tiene un tensor de tensión-energía que no se desvanece (derivado de la aplicación del teorema de Noether a las traducciones del espacio-tiempo) que se encuentra en el lado derecho de las ecuaciones del campo e inducirá la curvatura. Otro ejemplo: la métrica de Kaluza-Klein en la teoría de Kaluza-Klein viene dada por,

$$\mathrm{d}s^2 = g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu \mathrm{d}x^\nu -e^{2\sigma(x)}\left[ \mathrm{d}\psi + A_\mu \mathrm{d}x^\mu\right]^2$$ Por lo tanto, en este $5D$el espacio-tiempo modelo está influenciado por un campo escalar $\sigma(x)$, y un cuatro potencial $A_\mu$.

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Para completar, la acción a la que da lugar la métrica de Kaluza-Klein es,

$$S=-\frac{1}{16\pi G}\int \mathrm{d}^4 x \, \sqrt{g_4} \, \mathrm{d}\psi \,e^{\sigma} \left[ R^{(4)} + \frac{1}{4}e^{2\sigma}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -2e^{-\sigma} \square e^{\sigma}\right]$$

que se reduce a la teoría de Einstein-Maxwell si$\psi \sim \psi + L$, durante algún tiempo$L$y la dilatacion$\sigma=\mathrm{const}$.

La propiedad única por la que la masa y la ausencia de carga giran respectivamente (al menos no fuertemente, solo por "efectos secundarios") curvan el espacio-tiempo es el principio de equivalencia. El principio de equivalencia dice que masa de gravedad == masa de inercia. Después de reflexionar mucho sobre esta propiedad (probada experimentalmente por Galilei), Einstein descubrió que, como consecuencia, el espacio-tiempo debe estar curvado por la masa.

Por otro lado no hay relación obligatoria entre la carga (o espín) y la masa inercial, mejor dicho, no hay relación alguna. Por lo tanto, la carga o el espín no tienen ningún efecto a priori en el espacio-tiempo, al menos no uno directo. Como dijeron otros, el campo electromagnético transporta energía y, a través de su energía, contribuye a la curvatura del espacio-tiempo. Pero la carga no es la fuente de la curvatura del espacio-tiempo, esta está reservada a la masa respectivamente a la energía debido al principio de equivalencia.