Encontrar la fuerza entre corrientes paralelas usando la fórmula de la presión magnética

Question

Encontrar la fuerza entre corrientes paralelas usando la fórmula de la presión magnética

Anónimo

Sean dos alambres paralelos infinitamente largos por los que circula corriente, separados por $d$ llevando corrientes $i_1$ & $i_2$ respectivamente en la misma dirección.

Para hallar la fuerza sobre una parte infinitesimal $d\mathbf l$ del cable derecho que lleva corriente $i_2$ por el campo magnético del cable izquierdo que transporta corriente $i_1$ , Ley de Biot-Savart y $\mathbf F= id\mathbf l \times \mathbf B$ se utilizan para dar lugar a la fórmula

F = \frac{m_{0} i_{1} i_{2}}{2 π d} .

$F= \frac{\mu_0\; i_1 i_2}{2\pi d}\;.$

Pero recientemente, aprendí otra cosa: la presión magnética .

Una hoja que transporta corriente cambia abruptamente el campo magnético paralelo a la hoja y perpendicular a la corriente de un lado a otro; a menor espesor de la hoja, mayor discontinuidad brusca en el cambio de campo magnético al pasar de un lado a otro de la hoja. Esto se representa en la siguiente fórmula:

B_{⊥, frente} - B_{⊥, detrás} = m_{0} j .

$B_\text{$\perp$, front}- B_\text{$\perp$, behind} = \mu_0 \mathcal J\;.$

La fuerza sobre la lámina actual debido a estos campos magnéticos viene dada por

\begin{aligned} F & = (\frac{B_{⊥, frente} + B_{⊥, detrás}}{2}) (B_{⊥, frente} - B_{⊥, detrás}) \cdot \frac{1}{m_{0}} \\ = \frac{1}{2 m_{0}} [(B_{⊥, frente})^{2} - (B_{⊥, detrás})^{2}] \cdot \end{aligned} .

$\begin{align} F&=\left(\frac{B_\text{$\perp$, front} + B_\text{$\perp$, behind} }{2}\right)(B_\text{$\perp$, front} -B_\text{$\perp$, behind} )\cdot \frac{1}{\mu_0}\\& =\frac{1}{2\mu_0}\left[(B_\text{$\perp$, front})^2- (B_\text{$\perp$, behind} )^2\right]\cdot\end{align}\;.$

Quería usar esta fórmula para deducir la fuerza entre el cable correcto. ¿Es correcto usar esta fórmula para encontrar la fuerza en el cable correcto?

Entonces,

B_{⊥, frente} = - \frac{m_{0} i_{1}}{2 π (d + d)} - \frac{m_{0} i_{2}}{2 π d} B_{⊥, detrás} = - \frac{m_{0} i_{1}}{2 π (d - d)} + \frac{m_{0} i_{2}}{2 π d}

$B_\text{$\perp$, front}=-\frac{\mu_0i_1}{2\pi(d+\delta)}- \frac{\mu_0i_2}{2\pi\delta } \\B_\text{$\perp$, behind}=-\frac{\mu_0i_1}{2\pi(d-\delta)}+ \frac{\mu_0i_2}{2\pi\delta}$ dónde

δ

$\delta$ es el incremento o decremento infinitesimal del desplazamiento espacial de los cables respectivos.

Entonces, poniendo estos valores en sus respectivas posiciones en la ecuación de la presión magnética, obtuve

\begin{aligned} F & = \frac{1}{2 m_{0}} [{(- \frac{m_{0} i_{1}}{2 π (d + d)} - \frac{m_{0} i_{2}}{2 π d})}^{2} - {(- \frac{m_{0} i_{1}}{2 π (d - d)} + \frac{m_{0} i_{2}}{2 π d})}^{2}] \\ = \frac{1}{2 m_{0}} \frac{m_{0}^{2}}{4 π^{2}} [\frac{i_{1}^{2}}{(d + d)^{2}} - \frac{i_{1}^{2}}{(d - d)^{2}} + \frac{2 i_{1} i_{2}}{(d + d) d} + \frac{2 i_{1} i_{2}}{(d - d) d}] \\ = \frac{1}{2 m_{0}} \frac{m_{0}^{2}}{4 π^{2}} [\frac{i_{1}^{2} d^{2} + i_{1}^{2} d^{2} - 2 i_{1}^{2} d d - i_{1}^{2} d^{2} - i_{1}^{2} d^{2} - 2 i_{1}^{2} d d}{(d^{2} - d^{2})^{2}} + \frac{2 i_{1} i_{2} d - 2 i_{1} i_{2} d + 2 i_{1} i_{2} d + 2 i_{1} i_{2} d}{(d^{2} - d^{2}) d}] \\ = \frac{1}{2 m_{0}} \frac{m_{0}^{2}}{4 π^{2}} [- \frac{4 i_{1}^{2} d d}{(d^{2} - d^{2})^{2}} + \frac{4 i_{1} i_{2} d}{(d^{2} - d^{2}) d}] \\ = \frac{m_{0}}{2 π^{2}} [\frac{i_{1} i_{2} d}{(d^{2} - d^{2}) d} - \frac{i_{1}^{2} d d}{(d^{2} - d^{2})^{2}}] . \end{aligned}

$\begin{align}F&=\frac{1}{2\mu_0}\left[\left(-\frac{\mu_0i_1}{2\pi(d+\delta)}- \frac{\mu_0i_2}{2\pi\delta}\right)^2-\left(-\frac{\mu_0i_1}{2\pi(d-\delta)}+ \frac{\mu_0i_2}{2\pi\delta}\right)^2\right]\\&=\frac{1}{2\mu_0}\frac{\mu_0^2}{4\pi^2}\left[\frac{i_1^2}{(d+\delta)^2}-\frac{i_1^2}{(d-\delta)^2}+\frac{2i_1i_2}{(d+\delta)\delta}+\frac{2i_1i_2}{(d-\delta)\delta}\right]\\&=\frac{1}{2\mu_0}\frac{\mu_0^2}{4\pi^2}\left[\frac{i_1^2 d^2 +i_1^2\delta^2-2i_1^2d\delta-i_1^2d^2-i_1^2\delta^2-2i_1^2d\delta}{(d^2-\delta^2)^2}+ \frac{2i_1i_2d- 2i_1i_2\delta+ 2i_1i_2d+ 2i_1i_2\delta}{(d^2-\delta^2)\delta}\right]\\&=\frac{1}{2\mu_0}\frac{\mu_0^2}{4\pi^2}\left[-\frac{4i_1^2d\delta}{(d^2-\delta^2)^2 }+ \frac{4i_1i_2d}{(d^2-\delta^2)\delta}\right]\\&= \frac{\mu_0}{2\pi^2}\left[\frac{i_1i_2d}{(d^2-\delta^2)\delta}- \frac{i_1^2d\delta}{(d^2-\delta^2)^2}\right]\;.\end{align}$

Y así, ¡ DESASTRE ! Esto no está en ninguna parte de la fórmula que derivé usando la ley de Biot-Savart y la ecuación de Lorentz-Force. También hay una plaza de $\pi$ en el denominador, mientras que en la fórmula derivada anteriormente por la definición de Biot-Savart Law & Lorentz-Force, solo hay una $\pi$ en el denominador. echando leña al fuego , $\delta \to 0$ lo que significa que la relación a la que llegué usando la presión magnética es indeterminada :(

Entonces, ¿es incorrecto usar la relación de presión magnética para derivar la fuerza del campo magnético debido al cable paralelo que transporta corriente? $i_1$ ¿en la misma dirección?

Si no, ¿qué está mal en mi enfoque?

Tenga en cuenta que no le estoy diciendo a nadie que haga esto por mi tipo de solicitud; lo que realmente quiero saber es si mi enfoque para deducir la fuerza usando la relación de la presión magnética es correcto o incorrecto. Y si es correcto usar eso, ¿por qué no dio el mismo resultado que obtuve usando la relación Biot-Savart Law & Lorentz-Force?

Respuestas (1)

Encontrar la fuerza entre corrientes paralelas usando la fórmula de la presión magnética

David · Answer 1

La dificultad que enfrenta es que está tratando de aplicar una fórmula para las hojas actuales a las corrientes de línea. Además, su expresión para la fuerza en una hoja actual es incorrecta. Es fácil decir que es incorrecto porque está en unidades de energía y, como presión magnética , la fuerza debe ser proporcional al área de la lámina actual.

La forma en que aborda este problema es esencialmente un método energético. Es posible derivar la ley de Biot-Savart utilizando la energía del campo magnético. Comience con la expresión para la energía del campo magnético:

tu = \frac{1}{2 m_{0}} \int B^{2} d V

$U=\frac{1}{2\mu_0} \int B^2 dV$

Luego, desplace uno de los cables una cantidad diferencial y calcule el cambio de energía. Para aclarar la notación, estoy denotando la posición de un cable como $x$ , y el pequeño desplazamiento $dx$

d tu = \frac{1}{2 m_{0}} \int B (X + d X)^{2} - B (X)^{2}

$dU=\frac{1}{2\mu_0} \int B(x+dx)^2-B(x)^2$

Entonces la fuerza es la razón negativa de $dU$ encima $dx$

F = - \frac{d tu}{d X}

$F = -\frac{dU}{dx}$

Técnicamente, esto es sólo la fuerza en el $x$ dirección. Siendo realistas, sólo la distancia entre los cables es relevante, así que asegúrese $x$ la distancia entre los cables, y perturbar esa cantidad por $dx$ .

Estas diciendo $F = \frac{1}{2 m_{0}} [(B_{⊥, frente})^{2} - (B_{⊥, detrás})^{2}]$ $F=\frac{1}{2\mu_0}\left[(B_\text{$\perp$, front})^2- (B_\text{$\perp$, behind} )^2\right]$ ¿Es incorrecto?
Sí, ese es el uno. Tiene una forma como la densidad de energía magnética, por lo que no puede ser exactamente correcta. La forma correcta es probablemente algo como: $F=\frac{A}{2\mu_0}\left[(B_\text{$\perp$, front})^2- (B_\text{$\perp$, behind} )^2\right]$
En ese caso, seguro. La dificultad más intrínseca es cómo esa expresión asume campos magnéticos que son constantes en el espacio (el campo magnético entre las hojas actuales es efectivamente constante), mientras que la ley de Biot-Savart usa explícitamente un campo magnético que varía radialmente alejándose de los cables.
Por eso trabajé con $\delta\;,$ una distancia infinitesimal.
Eso no soluciona el problema. Aquí hay una pregunta: ¿sabe cómo derivar esta fórmula? $F = \frac{A}{2 m_{0}} [(B_{⊥, frente})^{2} - (B_{⊥, detrás})^{2}]$ $F=\frac{A}{2\mu_0}\left[(B_\text{$\perp$, front})^2- (B_\text{$\perp$, behind} )^2\right]$ Si puede trabajar con esta derivación, eso debería ayudarlo a comprender por qué no puede simplemente tomar esta fórmula y usarla para encontrar la ley de Biot-Savart. Y puede seguir pasos similares para derivar la ley de Biot-Savart.

Encontrar la fuerza entre corrientes paralelas usando la fórmula de la presión magnética

Anónimo

Respuestas (1)

David

usuario36790

David

usuario36790

David

usuario36790

David

¿Fuerzas contradictorias en un bucle circular bajo corriente en un campo magnético?

¿Por qué en F=iLBF=iLBF = iLB, LLL es un vector pero iii no lo es?

Dos cables que transportan corriente en la misma dirección se atraen entre sí. Pero dos haces de protones se repelen. ¿Por qué?

¿Por qué las líneas eléctricas no se balancean debido a la fuerza magnética entre ellas?

¿Cómo convertimos entre el valor máximo de la fuerza adhesiva (en kilogramos o en Newton) de un imán y la fuerza de su campo magnético (en tesla)?

Fuerza de Lorentz en un cable portador de corriente

¿Invertir la polaridad del imán para aumentar/disminuir las corrientes de Foucault?

¿Las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell tienen una aplicabilidad limitada debido al retardo?

Ayuda con la regla de la mano derecha: Parte 1

Cálculo del campo magnético alrededor de un cable portador de corriente de longitud arbitraria utilizando las ecuaciones de Maxwell