¿Podría una luna orbitar un planeta del tamaño de la Tierra de tal manera que cree un eclipse solar que dure varias semanas de principio a fin?

Respuesta corta: No, no podría.

La luna ya tiene bastante poca masa en relación con la tierra para que su período orbital no sea mucho más corto que un satélite con masa despreciable. Entonces, cualquier objeto a la distancia de la luna tardaría alrededor de un mes. Si el objeto realmente tuviera una masa insignificante , se estaría moviendo un poco más lento que la luna, así que seamos generosos y digamos 5 semanas. Eso significa que el objeto tendría que ser lo suficientemente grande como para extenderse 1/5 del camino alrededor del cielo para bloquear el sol durante solo una semana. Esto no es posible. Tal objeto sería mucho más grande que la Tierra.

Si imaginas un objeto más cerca de la Tierra, estaría orbitando más rápido, por lo que tendría que ser aún más grande.

Mudarse más lejos es un poco mejor. El período orbital es proporcional al radio elevado a la potencia 3/2, por lo que mover la Luna cuatro veces más lejos haría que su período fuera ocho veces más largo. Pero tendría que ser cuatro veces más grande, o 64 veces el volumen, solo para eclipsar al sol. Y en ese punto se acerca al tamaño de la tierra.

Puede ser posible construir un objeto sintético que orbite alrededor del sol en el punto L1 de la tierra (entre la tierra y el sol a la distancia justa para mantenerse en línea con ellos) y bloquee permanentemente el sol. Podrías ajustar su órbita solar para que solo bloqueara el sol parte del tiempo. Podría ser algo así como un disco de mylar que gira para evitar colapsar en una bola. Pero esto se convierte más en una cuestión de ingeniería que de astronomía. Ningún objeto natural plausible tendría esta configuración.

Los artículos 2 y 3 parecen ser incompatibles, estoy de acuerdo en que lo necesitas si quieres un eclipse que dure varias semanas.

Usted dijo

La velocidad orbital de la luna tendría que ser bastante lenta.

y luego

la luna tendría que ser bastante grande y/o estar relativamente cerca del planeta.

En general ambas cosas solo pueden suceder

si la masa del objeto fuera baja en comparación con su tamaño.

Así que estoy de acuerdo contigo en este punto. La masa del objeto debe ser diminuta en comparación con su tamaño, porque si no su velocidad sería rápida por la conservación del momento angular (que se establece en el momento de la creación del sistema tierra-luna).

Pero es tan difícil que un satélite natural tenga una densidad tan baja.

Creo que la única forma de evitar el conflicto entre 2 y 3 es un sistema que en el momento de su formación tenía un momento angular muy muy bajo, pero en realidad esta es una situación poco común.

Puede que este último sea el argumento que elegiría entre ambos. Prefiero un momento angular bajo antes que una densidad baja.

La primera pregunta es ¿qué queremos para un eclipse largo? La respuesta sería una luna grande en una órbita lenta. El siguiente análisis asume que el sistema es exactamente coplanar, y descuido el tamaño angular de la estrella (que daría como resultado un mayor radio de satélite) y el tamaño del planeta mismo.

Para obtener una órbita de satélite lenta, debemos averiguar cuál es la órbita estable más externa. Despreciando la pequeña excentricidad de la órbita de la Tierra, el radio de la esfera de Hill $R_\mathrm{H}$se da de la siguiente manera, donde$a_\oplus$es el radio de la órbita de la Tierra,$m_\oplus$es la masa de la tierra y$m_\odot$es la masa del Sol:

Esto equivale a unos 1.946.400 km. Las lunas son estables hasta un factor de alrededor de 1/3 del radio de Hill en el caso de lunas progradas, y alrededor de 1/2 del radio de Hill para lunas retrógradas.

En el caso de un satélite progrado, esto pone el radio orbital$a_\mathrm{m}$a unos 498.800 km con un período orbital$P_\mathrm{m}$de 40,5 días. También debemos cuidar la órbita de la Tierra alrededor del Sol, que tiene un período$P_\oplus$de 365,25 días. Esto da la velocidad angular resultante como:

Esto se puede multiplicar por el tiempo necesario para calcular el ángulo que recorre la luna en un tiempo determinado.$\theta = \omega t$. Para un eclipse de una semana, el ángulo es de unos 55°. El radio de la luna se puede obtener entonces por

Esto equivale a 231 100 km, que es aproximadamente el radio de una estrella enana roja M3V. Entonces, un satélite progrado no parece una buena posibilidad para eclipses de una semana.

¿Qué pasa con el caso retrógrado? En este caso, el radio orbital y el período de la órbita estable más externa terminan siendo 748.200 km y 74,5 días. Las velocidades angulares se suman, así que tienes

Haciendo el mismo cálculo nuevamente da un radio de luna de 260,200 km - ¡aún peor! La mayor distancia gana a la órbita más lenta.

¿Qué pasa si usamos un tipo diferente de estrella anfitriona? Según la lista de propiedades de las estrellas de secuencia principal de Eric Mamajek , una estrella A5V tiene una masa de 1,85 veces la del Sol y una luminosidad de 10 ^1,16 veces la del Sol, lo que sitúa la zona habitable en 3,80 UA con un orbital período de 1990 días. Hacer los cálculos nuevamente da como resultado radios de satélite más pequeños de 136,400 km (progrado) y 150,900 km (retrógrado). Todavía son demasiado grandes: la caja prograde es aproximadamente del tamaño de una enana roja M5V.

¡Desafortunadamente, parece que el caso de un eclipse de una semana no es muy plausible!