¿Población macroscópica de estados excitados para la condensación de Bose-Einstein?

La ocupación esperada del bosón para un estado con energía$\epsilon_j$es dado por

$$\langle n_j \rangle = \frac{1}{e^{\beta (\epsilon_j - \mu)}-1} = \frac{1}{z^{-1}e^{\beta\epsilon_j}-1} = \frac{z}{e^{\beta \epsilon_j}-z}$$

Aquí$\beta = \frac{1}{kT}$y he definido la fugacidad$z=e^{\beta\mu}$dónde$\mu$es el potencial químico. Sin cambiar la física, podemos agregar una compensación arbitraria a las energías para que la energía del estado fundamental,$\epsilon_0 = 0$. Vemos que por$\langle n_j \rangle$para ser positivo es necesario que$0<z<1$.

Para entender BEC debemos entender el comportamiento de$z$en función de la temperatura. Para concretar, asumo un número de átomo fijo$N$y un oscilador armónico isotrópico 3D con frecuencia$\omega_0$. Los niveles de energía son entonces espacio por$\hbar \omega$. Entonces es razonable definir una temperatura adimensional$\tilde{T} = \frac{kT}{\hbar \omega_0}$. Abajo trazo$z$como una función de$\tilde{T}$para un gas bosónico que no interactúa en un potencial de oscilador armónico 3D para varios números de átomos$N$.

Esta gráfica muestra fugacidad$z$versus temperatura$\tilde{T}$por número de átomo$N = \{10^1, 10^2, 10^3, 10^4\}$de izquierda a derecha. Vemos eso como$T$disminuye$z$aumenta linealmente hacia$1$hasta$T_c$en cuyo punto$z$satura a 1. Como$T$se baja por debajo$T_c$ $z$sigue aumentando pero ahora más lentamente ya que se ha saturado. La transición de crecimiento lineal a saturado se vuelve más nítida y más "transición de fase-y" como número de átomo$N$está incrementado.

Consideremos ahora la población del estado fundamental.

$$\langle n_0 \rangle = \frac{z}{1-z}$$

Vemos eso como$z \rightarrow 1$eso$\langle n_0 \rangle$se hará muy grande.

Ahora considere la primera población estatal excitada.

$$\langle n_1 \rangle = \frac{z}{e^{\frac{\epsilon_1}{kT}}-z}$$

Observo que para BEC experimentales la cantidad$\frac{\epsilon}{kT} \ll 1$*. Ahora consideraré dos límites de esta función, el$T>T_c$y$T<T_c$límites.

Para$T>T_c$tenemos eso$z<1$para que podamos aproximarnos$e^{\beta \epsilon_1} \approx 1$y escribe

$$\begin{align} \langle n_1 \rangle \approx \frac{z}{1-z} \end{align}$$

A medida que la temperatura desciende hacia$T_c$esta función aumenta ya que$z$aumenta hacia$1$.

Para$T<T_c$tenemos$z\approx 1$y ya no podemos aproximarnos$e^{\beta \epsilon_1} \approx 1$entonces tenemos

$$\langle n_1 \rangle \approx \frac{1}{e^{\beta \epsilon_1}-1} \approx \frac{1}{1+\beta \epsilon_1-1} \approx \frac{kT}{\epsilon_1}$$

Vemos que esta función decrece a medida que$T$está disminuido.

Así vemos que la excitada población estatal$\langle n_1 \rangle$disminuye a medida que$T$aumenta o disminuye alejándose de$T_c$. Por lo tanto, la población del estado excitado tiene un máximo en$T=T_c$. Entonces, la cuestión de si el estado excitado puede ocuparse macroscópicamente es una cuestión de cuán grande es la población del estado excitado a la temperatura crítica. Para un oscilador armónico 3D tenemos

$$kT_c \approx \hbar \omega N^{\frac{1}{3}}$$

Entonces, la fracción de átomos en los primeros estados excitados en la transición es

$$\frac{n_1}{N} \approx \frac{N^{\frac{1}{3}}}{N} = N^{-\frac{2}{3}}$$

Entonces vemos que la fracción del estado excitado disminuye a medida que el número total de átomos$N$aumenta y nos adentramos más y más en el límite termodinámico. A continuación, trazo la fracción del estado excitado en función de$\frac{T}{T_c}$para$N = \{10^2, 10^3, 10^4, 10^5\}$átomos

Véase W. Ketterle y NJ van Druten, Phys. Rev. A 54, 656 en W. Ketterle y NJ van Druten, Phys. Rev. A 54, 656 para una discusión más completa de los efectos del número de átomos finitos en la condensación de Bose-Einstein.

*Este es un punto de importancia crítica sobre la condensación de Bose-Einstein. La energía correspondiente a la temperatura crítica es MUCHO mayor que la energía correspondiente al primer estado excitado. Hay un efecto de partícula simple trivial que es que si disminuyes la temperatura tanto que$kT \ll \epsilon_i$entonces, por supuesto, espera encontrar la mayoría de las partículas en el estado fundamental. Esto sería cierto incluso para un gas clásico de partículas distinguibles. Señalo enfáticamente que esta no es la física de BEC.