Perspectiva de pez dorado

Sistema compuesto de lente ojo de pez/pecera

El cuenco haría un sistema de lentes compuesto con el ojo de pez. Primero, supondré que tenemos los siguientes índices de refracción:

$$n_{\text{air}}\\ n_{\text{glass}}\\ n_{\text{water}}.$$ Generalmente $n_{\text{air}} \approx 1$, $n_{\text{glass}} \approx 1.5$, y $n_{\text{water}} \approx 1.33$, pero trabajaré el problema general aquí. Supondré óptica geométrica de primer orden en la aproximación paraxial por simplicidad. Si quisiera una respuesta más sólida, este sistema podría modelarse y analizarse en un programa de trazado de rayos ópticos como Zemax o Code5.

Tenemos las siguientes variables además de los índices de refracción que se muestran en la siguiente figura:$t_1$es la distancia desde el objeto hasta la primera interfaz de vidrio esférico con radio de curvatura$r_1$,$t_2$es la distancia desde la interfaz de vidrio a la interfaz esférica de vidrio/agua con radio de curvatura$r_2$, y finalmente$t_3$es la distancia desde la interfase vaso/agua hasta el plano principal frontal del ojo del pez. Tenga en cuenta que el color verde denota el vaso y el color azul denota el agua.

Se utilizarán las siguientes ecuaciones de óptica gaussiana:

$$\phi = \frac{n_2-n_1}{r}\\ \phi_{\text{tot}} = \phi_1 + \phi_2 - \tau\phi_1\phi_2\\ f_R' = n_{\text{water}}f_e$$ dónde $\phi$es el poder de una sola superficie, $\phi_{\text{tot}}$es la potencia de dos superficies combinadas separadas por la distancia reducida $\tau = \frac{t}{n}$, y $f_e = \frac{1}{\phi}$es la distancia focal efectiva.

El primer paso es calcular la potencia de la interfaz aire/vidrio y la potencia de la interfaz vidrio/agua:

$$\phi_1=\frac{n_{\text{glass}}-n_{\text{air}}}{r_1}\\ \phi_2=\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{r_2}$$

Esto implica que:

$$\phi_{\text{3}}=\frac{n_{\text{glass}}-n_{\text{air}}}{r_1}+\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{r_2}-\frac{t_2}{n_{\text{glass}}}\cdot\frac{(n_{\text{glass}}-n_{\text{air}})(n_{\text{water}}-n_{\text{glass}})}{r_1 r_2}\\ =\frac{n_{\text{glass}}-1}{r_1}+\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{r_2}-\frac{r_1-r_2}{n_{\text{glass}}}\cdot\frac{(n_{\text{glass}}-1)(n_{\text{water}}-n_{\text{glass}})}{r_1 r_2}\\ =\frac{n_{\text{water}}n_{\text{glass}}-n_{\text{water}}}{n_{\text{glass}}r_1}+\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{n_{\text{glass}}r_2}\\ \approx \frac{0.443}{r_1}-\frac{0.113}{r_2}$$ desde $t_2 = r_1-r_2$, con la última línea utilizando los valores numéricos de los índices de refracción especificados anteriormente.

Ahora el ojo de pez tendrá poder$\phi_{\text{fish}}$, por lo que podemos usar las ecuaciones de Gauss una vez más:

$$\phi_{\text{tot}} = \phi_3 + \phi_{\text{fish}} - \frac{t_3}{n_{\text{water}}}\phi_3\phi_{\text{fish}}$$ enchufando $\phi_3$rendimientos: $$\phi_{\text{tot}} = \frac{n_{\text{water}}n_{\text{glass}}-n_{\text{water}}}{n_{\text{glass}}r_1}+\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{n_{\text{glass}}r_2} + \phi_{\text{fish}} - \frac{t_3}{n_{\text{water}}}\left(\frac{n_{\text{water}}n_{\text{glass}}-n_{\text{water}}}{n_{\text{glass}}r_1}+\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{n_{\text{glass}}r_2}\right)\phi_{\text{fish}}$$ Lo cual probablemente se pueda simplificar, pero no voy a perder el tiempo para hacerlo. Si agregamos algunos valores numéricos, incluidos los índices de refracción estimados enumerados anteriormente, podemos obtener una respuesta: $$r_1=100mm\\ r_2=97mm\\ t_2=3mm\\ t_3=97mm$$ correspondiente a una pecera de 200 mm (8 pulgadas) de diámetro, el pez está en el centro y el grosor del vidrio es de 3 mm. Calculo los siguientes valores: $$\phi_1=0.0050/mm\\ \phi_2=-0.0018/mm\\ \phi_3=0.0033/mm\\ \phi_{\text{tot}}=0.0033+0.7619\cdot\phi_{\text{fish}}$$ Esto implica que la distancia focal efectiva del sistema compuesto (pecera + ojo de pez) será $$f_{e,\text{tot}}=\frac{1}{0.0033+0.7619\cdot\phi_{\text{fish}}}mm$$

Encontré la distancia focal promedio para un ojo de pez dorado en

Papel del cristalino y el humor vítreo en las propiedades refractivas de los ojos de tres cepas de peces dorados de Seltner et al (1989)

estar más o menos$3mm$. Entonces obtenemos

$$f_{e,\text{tot}}=\frac{1}{0.0033+\frac{0.7619}{3}}mm=3.89mm.$$

¿Qué pasaría si el pez estuviera realmente cerca del vidrio, digamos$t_3=10mm$? Entonces

$$\phi_{\text{tot}}=0.0033+0.9752\cdot\phi_{\text{fish}}=0.3284/mm,$$ es decir, $$f_{e,\text{tot}}=3.05mm.$$ o si el pez está mirando para otro lado, es decir, $t_3 = 187mm$entonces $$f_{e,\text{tot}}=5.56mm.$$

El anterior es el caso más extremo. ¿Cuál es el efecto? Tenga en cuenta que las distancias focales anteriores son las distancias equivalentes aéreas (u ópticas) y no las distancias focales reales.

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Efecto de cambiar la distancia focal

La mayoría de los sistemas de enfoque (incluidas las cámaras y los ojos) están configurados de tal manera que la distancia focal no cambia mucho, y para los objetos lejanos no se necesitan muchos ajustes para lograr el enfoque. Supondremos esto aquí (es decir, que el plano focal o el sistema de lentes, o el cristalino cambia de tal manera que la distancia focal básica permanece sin cambios para mantener el enfoque). Supondremos que el pez puede concentrarse en algo que normalmente sólo$10mm$de distancia, esto establecería el rango de$z'$ser$3mm < z' < 4.3mm$.

Ahora necesitamos calcular el desplazamiento del plano principal del sistema combinado desde el plano principal del ojo de pez original usando:

$$\frac{d'}{n{\text{water}}} = -\frac{\phi_3}{\phi_{\text{tot}}}\frac{t_3}{n_{\text{water}}}\\ \implies d' = -\frac{\phi_3}{\phi_{\text{tot}}}t_3$$ Suponemos arriba que el plano principal trasero del sistema de ojo de pez está realmente en un índice de refracción del agua. Cuando el pez está en el extremo $f_{e,\text{tot}}=5.56mm$, entonces $$d' = -3.39mm.$$ Cuando el pescado está en el centro, entonces $$d' = -1.25mm.$$

El ojo de pez original equivalente al aire tenía$f_{e,\text{fish}}=3mm$, y la parte extrema del pez en un lado de la pecera cambió la distancia focal efectiva a$f_{e,\text{tot}}=5.56mm$. Supongamos que el pez está viendo un objeto en$1000mm$lejos. Podemos usar la ecuación de la lente para obtener la diferencia entre las dos distancias focales.

$$\frac{1}{z'}=\frac{1}{z}+\frac{1}{3mm}\text{vs.}\frac{1}{z'}=\frac{1}{z}+\frac{1}{5.56mm}\\ \implies \frac{1}{z'}=-\frac{1}{1000mm}+\frac{1}{3mm}\text{vs.}\frac{1}{z'}=-\frac{1}{1000mm}+\frac{1}{5.56mm}\\ \implies z'=3.009mm\quad\text{vs.}\quad z'=5.59mm$$ lo que significa que los aumentos serían: $$m_{\text{fish}}=-0.003009\\ m_{\text{tot}}=-0.005591$$ La nueva distancia focal efectiva debe tener en cuenta el desplazamiento en el plano principal, el plano focal estaría ubicado $5.59mm-3.39mm=2.2mm$. Esto daría como resultado que el pez vea los objetos a 1000 mm como borrosos (desenfocados) fuera de la pecera, cuando el pez está cerca del borde de la pecera y mira a través del otro lado de la pecera, porque el pez no puede cambiar la retina a los 2,2 mm. (el enfoque infinito está en la posición de 3 mm). El pez podría comenzar a ver cosas cuando el sistema compuesto tiene una $z'=3mm+3.39mm = 6.39mm$que corresponde a $z \approx 43mm$, es decir, cuando los objetos están a punto $43mm$desde el plano principal frontal en el aire (no sé si esto sería dentro o fuera del recipiente en el espacio físico, probablemente dentro, por lo que en realidad no puede suceder).

¿Qué pasa cuando el pez dorado está en el medio de la pecera, es decir,$f_{e,\text{tot}}=3.89mm$? Entonces algo a una distancia de$1000mm$tiene$z'=3.91mm$, y el plano focal está en$2.66mm$desde el plano principal trasero del sistema de ojo de pez original. El pez podría comenzar a ver cosas cuando el sistema compuesto tiene una$z'=3mm+1.25mm = 4.25mm$que corresponde a$z \approx 45mm$, casi lo mismo que el caso extremo.

En ambos casos, es probable que el pez dorado vea los objetos borrosos.

Si el pez dorado es sólo$20mm$desde el borde, entonces los objetos están más cerca que alrededor$122mm$se puede ver sin que se vea borroso. Si se coloca justo contra el borde, el efecto se minimiza y probablemente pueda ver bastante lejos.

El único efecto extraño desde el interior del recipiente será la reflexión interna total de la interfaz vidrio-aire. Esto es lo que causa el efecto de ojo de pez distintivo cuando se mira una interfaz agua-aire bajo el agua, donde se ve todo el$2\pi$estereorradianes del semiespacio aéreo concentrados en un disco más pequeño en la superficie. Hay una distorsión significativa en este caso, pero solo para objetos fuera del agua.

Pero tener una pecera esférica en realidad disminuiría, en lugar de aumentar, este efecto, y un pez ubicado en el centro exacto de la pecera no vería nada, ya que estaría mirando perpendicularmente a la interfaz vidrio-aire en todas direcciones.

EDITAR

Si el vidrio es lo suficientemente delgado, tendrá un efecto de refracción insignificante, ya que el ángulo de refracción del rayo que ingresa al vidrio y el ángulo de incidencia de ese mismo rayo que sale del vidrio serán prácticamente iguales, y sus efectos se anulan al aplicar La ley de Snell dos veces. Así que ópticamente esto es lo mismo que estar dentro de una esfera de agua flotando en el espacio. Digamos que esta esfera tiene un radio$r$, y estamos mirando la interfaz agua-aire desde la distancia$x$.

Un punto en la esfera que vemos.$\varphi$grados de distancia de la normal, se vería en un ángulo$\sin \theta = \frac{r}{x} \tan \varphi$desde el centro de la esfera, y el ángulo entre un rayo con ángulo$\varphi$y la normal a la interfaz será$\theta_3 = \varphi - \theta$. El mismo rayo en el aire tendrá ángulo con la normal calculada a partir de la ley de Snell,$\sin \theta_1 = \frac{n_3}{n_1} \sin \theta_3$.

Si realiza la aproximación paraxial y toma aproximaciones de primer orden para todas las funciones trigonométricas, finalmente obtiene eso, cuando mira con un ángulo pequeño$\varphi$de lo normal, en realidad estás viendo luz proveniente de un ángulo$\varphi'$que se puede calcular como:

$$\varphi' = \varphi (n - \frac{x}{r} n + \frac{x}{r})$$

dónde$n=\frac{n_3}{n_1} = 1.33$para agua.

Entonces, si está realmente cerca del vidrio, verá las cosas afuera más pequeñas de lo que son, por un factor de$\frac{1}{n} = 0.75$, si estás en el centro del cuenco verás todo sin distorsiones, y si estás mirando a través de todo el cuenco, verás las cosas magnificadas por un factor de$\frac{1}{2-n} = 1.5$.