Período orbital y precesión nodal y precesión absidal

En la mecánica orbital clásica según Newton/Kepler, el tiempo necesario para completar una órbita alrededor de un cuerpo de masa METRO mi es:

T = 2 π ⋅ a 3 GRAMO ⋅ METRO mi

Pero también, para las órbitas alrededor de un esferoide achatado, también tenemos la precesión del propio plano orbital y la precesión del eje mayor de la órbita que, para cada vuelta de la órbita, son respectivamente:

Δ Ω = − 3 π ⋅ j 2 GRAMO ⋅ METRO mi ⋅ [ 1 a ⋅ ( 1 − mi 2 ) ] 2 ⋅ porque ⁡ i

Δ ω = − 6 π ⋅ j 2 GRAMO ⋅ METRO mi ⋅ [ 1 a ⋅ ( 1 − mi 2 ) ] 2 ⋅ ( 5 4 ⋅ pecado 2 ⁡ i − 1 )

Lo que no tengo claro es, en presencia de estos factores, cómo es el período orbital T definido?

¿Se puede definir como el tiempo transcurrido entre dos pases consecutivos por el periapsis (o apoapsis)? ¿Cómo funciona eso cuando el periapsis (o apoapsis) se está desplazando? ¿Cuento el tiempo hasta donde estaba el periapsis cuando comencé , o donde está el periapsis ahora ?

Específicamente, ¿qué sucede en una órbita circular ecuatorial? (O, si queremos, una órbita donde i y mi son muy, muy pequeños?) Sustituyendo i = 0 y mi = 0 nos consigue:

Δ Ω = − 3 π ⋅ j 2 GRAMO ⋅ METRO mi ⋅ a 2 Δ ω = + 6 π ⋅ j 2 GRAMO ⋅ METRO mi ⋅ a 2
Entonces, si asumimos que el esferoide achatado también gira con el período de tiempo T , y el cuerpo en órbita pasó directamente sobre un punto PAG en el ecuador del esferoide en el momento t 0 , donde estará a la hora t 0 + T ?

  • ¿Será directamente sobre PAG ?
  • o será 3 π ⋅ j 2 GRAMO ⋅ METRO mi ⋅ a 2 adelante (este) de PAG en longitud (considerando Δ Ω + Δ ω )?
  • o será 3 π ⋅ j 2 GRAMO ⋅ METRO mi ⋅ a 2 detrás (oeste) de PAG en longitud (considerando Δ Ω solo)?
  • ¿Algo más?

¡Salud!

Nota : a = eje semi-mayor, mi = excentricidad de la órbita, i = inclinación de la órbita, GRAMO = constante gravitacional, j 2 = un coeficiente en la expansión armónica esférica del campo de potencial gravitatorio del esferoide

Respuestas (2)

Las fórmulas que mencionas se obtienen de las ecuaciones planetarias de Lagrange, que describen el movimiento central perturbado, con un promedio a lo largo de la órbita.

Para contexto y notación, en el caso de movimiento central, el conjunto de elementos orbitales { a , mi , i , ω , Ω , t pag } son constantes y equivalentes a conocer las condiciones iniciales, siendo la solución (por mi < 1 ) una elipse. t pag es el tiempo en periapsis; saber la hora actual y el período (su fórmula) T = 2 π / norte es suficiente para determinar la anomalía media METRO = norte ( t − t pag ) a partir de la cual podemos determinar la verdadera anomalía, el ángulo del periapsis a la posición actual, utilizando la ecuación de Kepler; norte es la frecuencia orbital.

En el caso de movimiento perturbado por el achatamiento, los elementos orbitales se vuelven dependientes del tiempo. La visión intuitiva es que en cada instante de tiempo t s tenemos una órbita diferente con elementos a ( t s ) , mi ( t s ) , … . En el presente caso, sucede que los 3 elementos a , mi , i are periodic with small amplitude, so their average variation is zero and can be ignored except for very high fidelity calculations. Because of that, we can imagine the motion as if the ellipse that is the trajectory (that is the same because a , e are constant) rotates in space: the orbital plane rotating around the z -axis (determined by Ω ) and the apsidal line rotating in the orbital plane (determined by ω ).

So, for an orbit with inclination i , if the central body does not rotate, the orbit rotates towards East for i < π / 2 , and so the satellite will not pass over P . When it passes at the same latitude depends on the period and the change in ω (apsidal rotation). The satellite moves in this rotating orbit.

What is the period and how much is it is a little ore complicated. We can have two views: when it completes a turn relative to the inertial reference frame (stars) or relative to the periapsis, which is rotating. We can use both. In the case of the Earth, we call sidereal year to the first and anomalistic year to the second (check Sidereal, tropical, and anomalistic years). What about the period? Lagrange Planetary Equations determine the change in M = M 0 + n M ( t − t 0 ) with a changed orbital frequency

n s = n + 3 n J 2 ( 3 cos 2 ⁡ i − 1 ) 4 ( 1 − mi 2 ) 3 / 2 ( R mi / a ) 2 ;
en cada instante t , podemos determinar la corriente METRO usando la órbita osculadora actual para la verdadera anomalía.

Sugiero el libro de Sidi, "Spacecraft Dynamics and Control: a Practical Engineering Approach", es la única referencia que se me ocurre que explica el cambio de METRO .

Desde el período T no aparece en ninguna de esas fórmulas de ángulo de precesión, no entiendo por qué necesita una definición de T (las fórmulas son autoconsistentes sin T ). De hecho, no podemos definir muy bien el período en algunos casos, ya que la órbita puede no cerrarse sobre sí misma debido a la precesión, lo que hace que el movimiento sea aperiódico.

Período orbital y precesión nodal y precesión absidal
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