Pérdida de peso de una linterna debido a la emisión de luz

El problema aquí es que la intuición sobre los campos es diferente a la de las partículas. Y la luz y las partículas son bastante similares en el sentido de que se comportan como ambas o como una de ellas en ocasiones.

Respecto a la luz como un chorro de fotones bastante localizados, diría lo siguiente: La luz le da un poco de retroceso a la linterna cuando se va. Digamos que la linterna está plana, entonces este retroceso podría ser hacia la derecha cuando la luz se va. En esa dirección no debería inclinar la balanza en absoluto. La linterna entonces pesa un poco menos y la gravedad tira menos hacia abajo.

La luz solo incidirá en los espejos del lado izquierdo y derecho y no contribuirá al peso. En algún momento podría golpear el fondo de la caja y luego contribuir al peso. Cuando llegue a la parte superior, disminuirá el peso. Esto es solo presión, no tiene un efecto en la báscula en promedio .

Dado que el fotón tiene energía, la gravedad lo atraerá hacia abajo. Si la gravedad fuera súper fuerte, entonces seguramente debería hacer que la luz vaya al fondo de la caja eventualmente. Si la gravedad fuera tan fuerte que la luz rebotara como una pelota de ping-pong y nunca volviera a tocar la parte superior, contribuiría al peso total ya que hay más presión hacia abajo que hacia arriba.

Mi intuición para esto es muy vaga, pero pensaría que la masa (¡no el peso!) de la caja cerrada se mantendría constante. Su peso en la balanza se reduciría hasta que el fotón golpeara el fondo de la caja. Entonces la escala tendría un ligero aumento repentino. En promedio (pensando en una pelota de ping-pong) la luz debería tocar el fondo con más frecuencia.

Necesitará muchos fotones para que el "gas de fotones" pueda difundirse hacia abajo y agregar algo de peso al fondo de la caja. Pensar en fotones individuales hace que el concepto de "peso" se anule, ya que la escala solo muestra algo que se promedia en un período corto de tiempo. En ese corto tiempo el fotón habrá viajado una gran distancia y se reflejará muchas veces.

Siendo realistas, el peso del fotón es insignificante y sería absorbido por las imperfecciones del espejo antes de que pudieras medir algo.

Creo que ambas respuestas preexistentes violan (o al menos juegan con la idea de violar) la relatividad general. La relatividad general es en pocas palabras que la gravedad y la aceleración no se pueden distinguir. ¡Solo desde ese principio, podemos resolver todo este problema!

Creo que la situación es bastante simple después de todo. El fotón rebotará hacia arriba y hacia abajo, pero experimentará un cambio gravitatorio rojo/azul y, por lo tanto, ejercerá una presión de radiación diferente en la parte superior e inferior del recipiente. Cuando la luz se escapa, este exceso de presión de radiación cae y la lectura en la escala cambiará tan pronto como la información viaje (que es a la velocidad de la luz). Esta información es que ningún fotón rebotará más en la escala, ya que se ha escapado. (En otras palabras, se debe tener mucho cuidado con afirmaciones que violan la causalidad como "La lectura del peso debe caer tan pronto como el fotón sale de la linterna").

Para completar, deduzcamos que: (La derivación terminó bastante larga y poco elegante ya que probablemente no elegí el mejor camino, pero debería ser muy fácil de seguir, ya que solo involucra álgebra básica. Sin embargo, puede haber algunos errores por descuido. ).

Entonces, sin la luz encendida, la báscula lee el peso.$F=m_0g$.

Para hacerlo lo más simple posible, imagina un fotón con una longitud de onda igual a la altura de la caja L. La energía del fotón ahora es$E = hc / L = h / T$, donde T es el tiempo que tarda el fotón en ir de una pared a otra.

Ahora hacemos que la caja acelere hacia arriba con una aceleración g (recuerde, esto es indistinguible de la gravedad). El fotón llegará a la parte superior de la caja desde la parte inferior de la caja a tiempo.$T_{up} c = L + 0.5 g T_{up}^2$, y en la dirección opuesta en el tiempo$T_{down} c = L - 0.5 g T_{down}^2$.

Estas ecuaciones cuadráticas se resuelven fácilmente:

$$T_{up} = \frac{\sqrt{c^2 + 2gL} - c}{g} \\ T_{down} = \frac{c - \sqrt{c^2 - 2gL}}{g} \\$$

y para las energías de fotones que suben y bajan obtenemos

$$E_{up} = h / T_{top} = \frac{hg}{\sqrt{c^2 + 2gL} - c}\\ E_{down} = h / T_{down} = \frac{hg}{c-\sqrt{c^2 - 2gL}}$$

Dado que g es realmente muy pequeño, podemos expandirlo a segundo orden

$$E_{up} = h / T_{top} = \frac{hg}{c \sqrt{1 + 2gL/c^2} - c}\\ E_{down} = h / T_{down} = \frac{hg}{c-c \sqrt{1 - 2gL/c^2}}$$

$$E_{up} = h / T_{top} = \frac{hg}{gL/c + 1/2 (g^2L^2/c^3) }\\ E_{down} = h / T_{down} = \frac{hg}{gL/c - 1/2 (g^2 L^2/c^3)}$$

$$E_{up} = h / T_{top} = \frac{hc/L}{1 + 1/2 (g L/c^2) }\\ E_{down} = h / T_{down} = \frac{hc/L}{1 - 1/2 (g L/c^2)}$$

$$E_{up} \approx hc/L - 1/2 h (g/c) )\\ E_{down} \approx hc/L + 1/2 h (g/c) \\ $$

Acabamos de derivar el corrimiento gravitatorio rojo/azul de un fotón.

Por lo tanto, la diferencia de cantidad de movimiento que sube y baja es$\Delta p = \Delta E / c = h g / c^2$y esto sucede aproximadamente en$\Delta T = L/c$. Por lo tanto, la tasa de transferencia de cantidad de movimiento neta es$F = \Delta p / \Delta t = hg/Lc$. Uso desde el principio$E = hc/L \rightarrow L = hc/E$, uno obtiene$F = \Delta p / \Delta t = hg/(hc/E)c = g E / c^2$. Si ahora usamos el famoso$E=mc^2$, en realidad obtenemos$F = mg$. Es decir, la lectura de la escala debida a la luz será indistinguible de la masa en reposo de una partícula masiva.

Si la linterna apunta hacia los lados, la luz aún se inclina más hacia abajo debido y similar, pero probablemente sea posible una derivación más tediosa.

Ahora, si se abre la caja, la luz se escapará y ya no causará presión de radiación, y por lo tanto, la escala mostrará que la luz se ha escapado. La escala mostrará una lectura diferente, dentro de los límites de la causalidad, ya que ninguna información puede viajar más rápido que la luz. Esto está en perfecto acuerdo con el peso causado por el argumento de la presión de radiación.

Este es uno de esos casos en los que es necesario distinguir masa y peso.

Masa (equivalentemente energía, por el famoso$E=mc^2$) se define de dos maneras. Hay masa inercial, que relaciona la aceleración de un cuerpo con la fuerza aplicada ($F=ma$), y está la masa gravitacional, que escala la fuerza gravitacional ejercida por un cuerpo ($F=GMm/r^2$). El principio de equivalencia establece que estas dos masas son de hecho idénticas. Si desea hablar sobre medir la masa directamente, debe aplicar una fuerza conocida al sistema cuya masa desea medir y luego medir su aceleración, o medir su fuerza gravitatoria "directamente" (una buena manera, al menos esquemáticamente, de hacer esto sería pegar la caja en un gran espacio vacío, colocar otra partícula de prueba un poco más lejos y medir el tiempo que tardan en chocar). Con una medición adecuada de la masa del sistema, contaría correctamente toda la masa-energía de todo (caja, linterna, fotones) en el sistema, siempre que diseñe la medición de manera adecuada para el sistema de interés.

El problema con una báscula es que mide el peso de la caja, que es un poco diferente. Esta es la fuerza, presuntamente debida a la gravedad, transmitida hacia abajo en la escala. Pero hay algunos problemas. La fuerza debe transmitirse, por lo que un fotón que vuela libremente no se registrará. La lectura del peso debería caer tan pronto como el fotón deje la linterna. La báscula también es sensible a otras fuerzas aplicadas. Los fotones que rebotan en la caja tienen un impulso de transferencia: un fotón que se refleja en un espejo en la parte superior interna de la caja aplica una pequeña "patada" hacia arriba, lo que reduce momentáneamente la lectura del peso de la caja.