Partícula deslizándose sobre una esfera

Question

Partícula deslizándose sobre una esfera

hdhzero

Creo que la mayoría de ustedes probablemente resolvió el siguiente problema usando la conservación de energía como se muestra aquí . Afirma

Una partícula parte del reposo en la parte superior de una esfera sin fricción de radio R y se desliza sobre la esfera bajo la fuerza de la gravedad. ¿A qué distancia por debajo de su punto de partida llega antes de salir volando de la esfera?

He estado tratando de resolver este problema usando solo las leyes de Newton sin conservación de energía. Me gustaría saber si es posible y, en caso afirmativo, si me pudierais dar alguna idea de cómo solucionarlo. El problema que tengo actualmente es que creo que la fuerza Normal en este problema no es una constante, sino una función del ángulo.

Creo que está claro que la trayectoria del bloque es una curva antes de caer de la esfera. Si es una curva, tenemos una fuerza centrípeta dada por

metro \frac{v^{2}}{R} = metro gramo porque θ - norte (θ)

$m\frac{v^2}{R} = mg\cos\theta - N(\theta)$

donde creo $N$ es una función de $\theta$ .

Cuando los bloques salen de la esfera, ya no hay fuerza normal, por lo que en este instante la resultante centrípeta es solo

metro \frac{v^{2}}{R} = metro gramo porque θ

$m\frac{v^2}{R} = mg\cos\theta$

También se puede ver que en el $y$ eje, la fuerza resultante viene dada por

metro a_{y} = PAG - norte (θ) porque θ

$ma_{y} = P - N(\theta)\cos\theta$

Y la aceleración es

a_{y} = gramo - \frac{norte (θ)}{metro} porque θ

$a_{y} = g - \frac{N(\theta)}{m}\cos\theta$

Ahora podría tratar de resolver

\frac{d v_{y}}{d t} = gramo - \frac{norte (θ)}{metro} porque θ

$\frac{dv_y}{dt} = g - \frac{N(\theta)}{m}\cos\theta$

para obtener la velocidad en el $y$ eje y de alguna manera calcular la altura donde la fuerza normal es cero ... De todos modos, esto es lo que sé del problema y estoy perdido. ¿Algún consejo sobre cómo solucionarlo?

jerbo sammy

Comparando las últimas 2 ecuaciones,

a_{y} = d v / d t

$a_y=dv/dt$ Pero esto no es correcto.

hdhzero

@sammy fue un error tipográfico. Escribí dv en lugar de dv_y

jerbo sammy

Demasiadas variables:

v

$v$ ,

v_{y}

$v_y$ ,

t

$t$ ,

θ

$\theta$ ,

N

$N$ . ¿Puedes eliminar algunos de ellos?

hdhzero

@sammygerbil No sé qué podría hacer para eliminar algunas de estas variables

jerbo sammy

Necesitas encontrar N como una función de

θ

$\theta$ . ¿Puedes eliminar las otras variables relacionándolas con N o

θ

$\theta$ ?

dmckee --- gatito ex-moderador

Tu primer error es tratar de hacerlo en coordenadas rectangulares. Trabaja en términos rotacionales (torque, momento de inercia y coordenadas angulares) porque eso hace que la ecuación diferencial sea parte del problema unidimensional. Luego, integrar la ecuación diferencial requiere un truco para eliminar la desagradable e innecesaria presencia del tiempo. Después de eso es plug-n-chug.

hdhzero

@sammygerbil ¿Sabe cómo encontrar N en función del ángulo y solo me está dando pistas sobre lo que debo hacer o tampoco sabe cómo encontrar N? Porque no tengo idea de lo que podría hacer para encontrar

N (θ)

$N(\theta)$

hdhzero

@dmckee, entonces, ¿lo que está diciendo es que no hay una manera fácil de resolver esta pregunta sin usar la conservación de energía?

dmckee --- gatito ex-moderador

No. Encontré las ecuaciones de movimiento en la superficie por consideraciones de fuerza y luego las resolví para obtener la misma respuesta sin siquiera calcular una energía. Solo se necesitan matemáticas más profundas. Y ayuda reconocer que mientras la partícula permanezca en la superficie, tratarla como una rotación es más fácil que trabajarla en coordenadas rectangulares.

Chet Miller

¿Cuál es la ecuación de equilibrio de fuerzas en el

θ d i r e c t i o n

$\theta direction$ (tangente a la superficie), y ¿por qué no está incluido?

hdhzero

@dmckee gracias por la idea. Si es posible, ¿podrías mostrarme cómo lo has resuelto, por favor?

hdhzero

@ChesterMiller ¿Sería

m a_{t} = P \sin θ

$ma_t = P\sin\theta$ ?

jerbo sammy

@hdhzero: Tienes razón. Estaba tratando de señalarle una meta (escriba N como una función de

θ

$\theta$ , establecer N=0, resolver) sin haber comprobado lo difícil que es. Me disculpo por engañarte.

brillar

no es una pregunta muy significativa. El teorema trabajo-energía (conservación de energía) en la mecánica de Newton es solo una consecuencia matemática de las leyes de Newton. puede resolverlo "sin" conservación de energía con algunos trucos matemáticos, ¡pero lo más probable es que esos trucos resulten ser más o menos conservación de energía!

Respuestas (4)

Partícula deslizándose sobre una esfera

Comparando las últimas 2 ecuaciones, $a_y=dv/dt$ Pero esto no es correcto.
@sammy fue un error tipográfico. Escribí dv en lugar de dv_y
Demasiadas variables: $v$ , $v_y$ , $t$ , $\theta$ , $N$ . ¿Puedes eliminar algunos de ellos?
@sammygerbil No sé qué podría hacer para eliminar algunas de estas variables
Necesitas encontrar N como una función de $\theta$ . ¿Puedes eliminar las otras variables relacionándolas con N o $\theta$ ?
Tu primer error es tratar de hacerlo en coordenadas rectangulares. Trabaja en términos rotacionales (torque, momento de inercia y coordenadas angulares) porque eso hace que la ecuación diferencial sea parte del problema unidimensional. Luego, integrar la ecuación diferencial requiere un truco para eliminar la desagradable e innecesaria presencia del tiempo. Después de eso es plug-n-chug.
@sammygerbil ¿Sabe cómo encontrar N en función del ángulo y solo me está dando pistas sobre lo que debo hacer o tampoco sabe cómo encontrar N? Porque no tengo idea de lo que podría hacer para encontrar $N(\theta)$
@dmckee, entonces, ¿lo que está diciendo es que no hay una manera fácil de resolver esta pregunta sin usar la conservación de energía?
No. Encontré las ecuaciones de movimiento en la superficie por consideraciones de fuerza y luego las resolví para obtener la misma respuesta sin siquiera calcular una energía. Solo se necesitan matemáticas más profundas. Y ayuda reconocer que mientras la partícula permanezca en la superficie, tratarla como una rotación es más fácil que trabajarla en coordenadas rectangulares.
¿Cuál es la ecuación de equilibrio de fuerzas en el $\theta direction$ (tangente a la superficie), y ¿por qué no está incluido?
@dmckee gracias por la idea. Si es posible, ¿podrías mostrarme cómo lo has resuelto, por favor?
@hdhzero: Tienes razón. Estaba tratando de señalarle una meta (escriba N como una función de $\theta$ , establecer N=0, resolver) sin haber comprobado lo difícil que es. Me disculpo por engañarte.
no es una pregunta muy significativa. El teorema trabajo-energía (conservación de energía) en la mecánica de Newton es solo una consecuencia matemática de las leyes de Newton. puede resolverlo "sin" conservación de energía con algunos trucos matemáticos, ¡pero lo más probable es que esos trucos resulten ser más o menos conservación de energía!

Frobenius · Answer 1

Colocamos la órbita circular de la partícula en una línea recta y convertimos el movimiento en un movimiento rectilíneo unidimensional de la siguiente manera: La longitud del arco, el parámetro natural $\:s(t)\:$ es la distancia recorrida en linea recta hasta el tiempo $\:t\:$ . La velocidad $\:v(t)\:$ en la línea recta es la magnitud de la tangente a la velocidad del círculo. Ahora, en la línea recta, la partícula se mueve como bajo la influencia de la fuerza tangente que es $\:f_{t}=mg\sin(\theta)\:$ entonces bajo una aceleración variable $\:a_{t}=g\sin(\theta)\:$ . Pero $\:\theta=s/R\:$ por lo que la ecuación diferencial de movimiento es

\begin{matrix} (01) & \frac{d^{2} s}{d t^{2}} - gramo pecado (\frac{s}{R}) = 0, {[\frac{d s}{d t}]}_{t = 0} = 0, s (0) = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}^{2} s}{ \mathrm{d}t^{2} }-g\sin\left(\dfrac{s}{R}\right)=0, \qquad \left[\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right]_{t=0}=0, \qquad s(0)=0 \tag{01} \end{equation}$

ya que la partícula parte del reposo sobre el origen.

Por otro lado, la condición para que la partícula abandone la esfera es que la fuerza normal sea cero.

\begin{matrix} (02) & norte = metro gramo porque (θ) - metro a_{C} = metro gramo porque (θ) - \frac{metro v^{2}}{R} = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} N=mg\cos(\theta)-ma_{c}=mg\cos(\theta)- \dfrac{mv^{2}}{R}=0 \tag{02} \end{equation}$ eso es

\begin{matrix} (03) & {(\frac{d s}{d t})}^{2} - gramo R porque (\frac{s}{R}) = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \boxed { \bbox[#FFFF88,8px]{\:\:\left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}-gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right)=0 \:\:}} \tag{03} \end{equation}$

Ahora, debemos resolver (01) para encontrar en qué punto se cumple la condición (03). Pero se demostrará que no es necesario. Entonces, multiplicando (01) por $\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}$ tenemos

\begin{matrix} (04) & \frac{d s}{d t} \frac{d^{2} s}{d t^{2}} - gramo \frac{d s}{d t} pecado (\frac{s}{R}) = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\dfrac{\mathrm{d}^{2} s}{ \mathrm{d}t^{2} }-g\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\sin\left(\dfrac{s}{R}\right)=0 \tag{04} \end{equation}$ o

\begin{matrix} (05) & \frac{d s}{d t} \frac{d}{d t} (\frac{d s}{d t}) + \frac{d}{d t} [gramo R porque (\frac{s}{R})] = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t} \dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right) +\dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left[gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right)\right]=0 \tag{05} \end{equation}$ eso es

\begin{matrix} (06) & \frac{d}{d t} [{(\frac{d s}{d t})}^{2} + 2 gramo R porque (\frac{s}{R})] = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \Biggl[ \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) \Biggr]=0 \tag{06} \end{equation}$

Esto significa que hemos encontrado una constante de integración de (01) y más explícitamente usando las condiciones iniciales

\begin{matrix} (07) & [{(\frac{d s}{d t})}^{2} + 2 gramo porque (\frac{s}{R})] = constante = [{(\frac{d s}{d t})}^{2} + 2 gramo R porque (\frac{s}{R})]_{t = 0} = 2 gramo R \end{matrix}

$\begin{equation} \Biggl[ \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2g\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) \Biggr]=\text{constant}=\Biggl[ \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) \Biggr]_{t=0}=2gR \tag{07} \end{equation}$ o

\begin{matrix} (08) & {(\frac{d s}{d t})}^{2} + 2 gramo R porque (\frac{s}{R}) = 2 gramo R \end{matrix}

$\begin{equation} \boxed { \bbox[#FFFF88,8px]{\:\: \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) =2gR \:\:}} \tag{08} \end{equation}$

Substruyendo las ecuaciones (08) y (03) una al lado de la otra tenemos finalmente

\begin{matrix} (09) & porque (θ) = porque (\frac{s}{R}) = \frac{2}{3} \end{matrix}

$\begin{equation} \cos\left(\theta\right)=\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) =\dfrac{2}{3} \tag{09} \end{equation}$

Notas:

La ecuación diferencial de movimiento (01) es idéntica a la de la respuesta de Dvij pero con respecto a $\:s(t)=\theta(t)R\:$ en lugar de $\:\theta(t)\:$ .
Encuentro la constante de integración (07) de la ecuación (01) motivada por el hecho de que existe una constante: la energía. Inserté la conservación de energía a través de la puerta trasera.

youpilat13 · Answer 2

Si una 'ley' de la Física puede ser realmente descuidada y aun así puedes predecir el resultado de un experimento con total precisión, entonces no es una ley de la Física. Entonces, si la conservación de energía es un hecho físico aquí, implícita o explícitamente, vamos a usar ese hecho; de lo contrario, no debemos poder predecir el resultado completo. Así que asumo que su pregunta es calcular la trayectoria de la pelota sin ningún uso explícito de conservación de energía sino a través (como ha mencionado) de las ecuaciones de Newton en frío.

Dado que el radio de la esfera es constante, es fácil usar las ecuaciones de movimiento angular en lugar de usar ecuaciones rectangulares con dos componentes. estoy midiendo $\theta$ de la vertical

$Rmg\sin\theta$ $=$ $mR^2\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$

O, $g\sin\theta=R\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$

Esta es la ecuación de movimiento. Pondremos las condiciones iniciales $\theta=0$ y $\dfrac{d\theta}{dt}=0$ . ¡Y obtendremos más de una solución a estas ecuaciones diferenciales! (Es extraño en cierto modo y por qué sucede eso es una discusión larga. Pero no sugiere que la Mecánica newtoniana sea probabilística o solo parcialmente determinista. Solo sugiere que el estado inicial, en algunos casos, no se describe completamente a través de los derivados hasta el primer orden en el tiempo; necesitamos especificar algo más). De esas soluciones, elegiremos la solución en la que $\theta$ aumenta con el tiempo. Básicamente, ahora tenemos una función conocida del tiempo, $f(t)$ , de modo que $\theta=f(t)$ .

Habiendo sabido esto, podemos simplemente escribir una ecuación para la fuerza de reacción normal de la siguiente manera:

$N=mg\cos\theta-R\bigg(\dfrac{d\theta}{dt}\bigg)^2$

$N=mg\cos\theta-R(f'(t))^2$ .

para averiguar el $\theta$ , en el que la pelota sale de la superficie, escribiremos $N=0$ . Y eso rinde

$\theta=\cos^{-1} \bigg(\dfrac{R(f'(t))^2}{mg}\bigg)$

O, $f(t)=\cos^{-1} \bigg(\dfrac{R(f'(t))^2}{mg}\bigg)$

Esta es de nuevo una ecuación en $t$ y se puede solucionar. Tenga en cuenta que no es una ecuación diferencial. Porque la función $f$ se conoce en los términos explícitos de $t$ y por lo tanto la ecuación es sólo una ecuación en $t$ . Resolverlo dará el valor del tiempo en el que la pelota sale de la esfera. Llama a esa hora $t=T_k$ .

Así, el ángulo en el momento de salir $\theta_k$ $=$ $f(T_k)$ .

Hola. ¿Puedo preguntar: cuál sería la condición satisfecha en el formalismo lagrangiano para obtener el ángulo cuando el cuerpo se separa de la esfera? Gracias.
Tu respuesta sigue siendo una función del tiempo. si no sabes $f(t)$ , ni el momento en que $N=0$ , ¿cómo puedes encontrar $\theta$ ?
Además, con las condiciones iniciales $\theta=0$ y $\frac{d\theta}{dt}=0$ el bloque no se moverá en absoluto. Inicialmente se equilibra de manera inestable en la parte superior del hemisferio.
@sammygerbil $\theta$ se conoce como una función del tiempo. y como dije $f(t)$ también es conocido. Entonces, la ecuación final te da el tiempo en el que se pierde el contacto. Poniendo ese tiempo en $f(t)$ da la respuesta definitiva.
@sammygerbil Con las condiciones iniciales $\theta=0$ y $\dfrac{d\theta}{dt}=0$ , el bloque se mueve. La razón es que la inestabilidad se debe a las derivadas superiores que no desaparecen de $\theta$ (tiempo escrito). En cierto modo, puedes darte cuenta de que la velocidad angular es infinitamente pequeña inicialmente, pero en un sentido matemático estricto, debes poner $\dfrac{d\theta}{dt}=0$ ya que es un límite que tiene que ser no infinitesimal por definición.
@sammygerbil Por cierto, gracias por señalar la aparente ambigüedad de la implicación de mi ecuación final en la respuesta. Estoy editando mi respuesta en consecuencia.
@Dvij lo entiendo $\theta = f(t)$ , pero ¿qué ecuación usas para encontrar $t$ ?
@hdzero $g\sin\theta=R\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$ es una ecuación diferencial con variable independiente $t$ y variable dependiente $\theta$ . Resolviéndolo con las condiciones iniciales $\theta=0$ y $\dfrac{d\theta}{dt}=0$ nos dará $\theta$ como una función del tiempo. es decir, obtendremos $f(t)$ .

Chet Miller · Answer 3

@dvij dio la ecuación

gramo pecado θ = R \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = R \frac{d ω}{d t}

$g\sin \theta =R\frac{d^2\theta}{dt^2}=R\frac{d\omega }{dt}$ Si multiplicamos esto por omega, obtenemos:

gramo pecado θ \frac{d θ}{d t} = R ω \frac{d ω}{d t}

$g\sin \theta \frac{d\theta}{dt}=R\omega\frac{d\omega }{dt}$ Si integramos esta ecuación entre 0 y t, obtenemos:

gramo (1 - porque θ) = \frac{R}{2} ω^{2}

$g(1-\cos \theta)=\frac{R}{2}\omega^2$ Entonces tenemos

metro gramo porque θ - 2 metro gramo (1 - porque θ) = norte = metro gramo (3 C o s θ - 2)

$mg\cos\theta-2mg(1-\cos \theta)=N=mg(3cos\theta-2)$ No sé si esto cuenta como un método de energía o no.

'm' espuria en la penúltima ecuación. También podría señalar dónde se relaciona la última línea con la respuesta de Dvij.
No creo que haya una m espuria en mi última ecuación. @Dvij omitió una m en su última ecuación. Mi penúltima ecuación tenía una m falsa, que eliminé. Gracias.
Penúltimo significa penúltimo. Ese no fue el único error de Dvij.
Perdóname, pero ¿no crees que has repetido (copiado) mi respuesta?
@lucas Actully, no. Mi ecuación final da N como una función solo de mg y $\theta$ , y permite calcular $\theta$ directamente. Además, en ningún lugar multiplicó el equilibrio de fuerzas en la dirección tangencial por $d\theta/dt$ y luego integrado. Esto es clave para obtener una ecuación explícita para el valor de $\theta$ en que se produce la separación.
@Chester Miller: A la derecha de la última ecuación reemplazar $\:mg(3cos\theta-1)\:$ por $\:mg(3cos\theta-2)$ .

lucas · Answer 4

Como dijo @dmckee, debe usar coordenadas polares para este problema. Las ecuaciones de movimiento son las siguientes: ( $\omega$ es la velocidad angular y $\alpha$ es la aceleración angular)

\begin{matrix} (1) & metro gramo porque θ - norte = metro R ω^{2} \end{matrix}

$mg\cos \theta-N=mR\omega^2\;\tag 1$

\begin{matrix} (2) & metro gramo pecado θ = metro R α \end{matrix}

$mg\sin \theta=mR\alpha\;\tag 2$ De

(2)

$(2)$ , tenemos

α = \frac{g}{R} \sin θ

$\alpha=\large{\frac gR}\sin \theta$

Por otro lado, sabemos:

\begin{matrix} (3) & α d θ = ω d ω \end{matrix}

$\alpha\mathrm d \theta=\omega\mathrm d\omega\;\tag3$ Entonces, puedes encontrar

ω^{2}

$\omega^2$ como una función de

θ

$\theta$ .

Entonces, puedes usar la ecuación $(1)$ para determinar el ángulo que el bloque pierde su contacto con la esfera. No es que, en ese ángulo, tengamos $N=0$

Una vez, encuentras $\cos\theta_f$ ( $\theta_f$ es el ángulo que el bloque pierde su contacto con la esfera) puedes encontrar El $h$ por esta fórmula: $\cos \theta_f= \large{\frac{R-h}R}$

Partícula deslizándose sobre una esfera

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jerbo sammy

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