Parametrización de un elemento arbitrario de U(2)L×U(2)RU(2)L×U(2)RU(2)_L \times U(2)_R (Simetría quiral con dos quarks)

Cuando escribes el Lagrangiano para dos quarks:

$$\begin{equation} \mathcal{L}_\text{QCD}^0 = -\frac{1}{4} G_{\mu\nu}^a G^{a\mu\nu}+ \bar\Psi i \gamma^\mu D_\mu \Psi \end{equation}$$ encuentras un $U(2)_L \times U(2)_R$simetría global porque puedes reescribirlo: $$\begin{equation} \mathcal{L}_\text{QCD}^0 = -\frac{1}{4} G_{\mu\nu}^a G^{a\mu\nu}+ \mathcal{L}_\text{QCD}^L+\mathcal{L}_\text{QCD}^R \end{equation}$$ con $\mathcal{L}_\text{QCD}^{L,R} = \bar\Psi_{L,R} i \gamma^\mu D_\mu \Psi_{L,R}$

Un elemento arbitrario de$U(2)_L \times U(2)_R$puede ser escrito :

$$\begin{equation} (g_L, g_R) = \left(e^{ i \gamma +i \gamma^i \frac{\sigma_i}{2}},e^{ i \delta +i \delta^i \frac{\sigma_i}{2} }\right) \end{equation}$$ donde el $\sigma_i$s son las matrices de Pauli. Pero podría, en principio, reescribir este elemento como: $$\begin{equation} (g_L, g_R) = \left(e^{ i \alpha} e^{ i \beta } e^ {i \alpha^i \frac{\sigma_i}{2}} e^{i \beta^i \frac{\sigma_i}{2}},e^{ i \alpha} e^{ - i \beta } e^{i \alpha^i \frac{\sigma_i}{2}} e^{-i \beta^i \frac{\sigma_i}{2}}\right) \end{equation}$$ Esa expresión muestra que uno puede factorizar dos $U(1)$s y obtener: $$\begin{equation} U(2)_L \times U(2)_R = SU(2)_L \times SU(2)_R \times U(1)_V \times U(1)_A \end{equation}$$ Lo que no entiendo es cómo obtener explícitamente la segunda expresión de $(g_L, g_R)$a partir de la primera.