¿Paradoja fundamental con la Ley de Gravedad de Newton?

Question

¿Paradoja fundamental con la Ley de Gravedad de Newton?

Kelvin

Esta es mi primera publicación aquí, pero he estado luchando con este problema en mi cabeza desde que estudié física en la escuela cuando tenía 14 años (¡hace 30 años!).

Parece haber una paradoja fundamental con la Ley de la Gravedad de Newton (NLG), pero no puede tener nada que ver con la relatividad general, porque las masas y las velocidades involucradas pueden ser insignificantes y aún se obtiene la paradoja...

Imagina dos cuerpos, A y B con masa $M_a$ y $M_b$ , respectivamente, separados por una distancia de $r$ . Ahora según NLG:

Si estás parado en A, entonces B acelera hacia ti en

(GRAMO {METRO}_{a} {METRO}_{b} / r^{2}) / {METRO}_{b} = GRAMO {METRO}_{a} / r^{2} .

$(G M_a M_b / r^2) / M_b = G M_a / r^2.$

Y si estás parado en B, entonces A acelera hacia ti en

(GRAMO {METRO}_{a} * {METRO}_{b} / r^{2}) / {METRO}_{a} = GRAMO {METRO}_{b} / r^{2} .

$(G M_a * M_b / r^2) / M_a = G M_b / r^2.$

Pero $M_a \ne M_b$ .

Entonces, ¿cómo pueden dos observadores diferentes en A y B ver la aceleración entre sí a tasas muy diferentes, incluso si las masas y las velocidades involucradas son insignificantes (apenas afectadas por la relatividad)?

¿Y por qué el propio Newton no vio esta paradoja?

Finalmente, ¿cómo se puede/debe modificar NLG para resolver esta paradoja y aún así ajustar las observaciones a masas y velocidades bajas?

Juan Duffield

Es como dijo Gert, Kelvin. No hay paradoja en absoluto. Si estás parado sobre un ladrillo que cae, aceleras hacia la Tierra a 9,8 m/s². Al mismo tiempo, estoy parado en el suelo y no acelero en absoluto. Pero nuestra velocidad de cierre con respecto al otro es la misma.

Javier

Su pregunta está bien, pero es posible que desee tener algo en cuenta. ¿Qué es más probable, que haya una paradoja que nadie haya resuelto en los últimos 350 años, o que simplemente no entendiste algo?

Brionio

Agregaría a lo que dijo Javier: sería más respetuoso con el trabajo de toda la vida que se dedicó a desarrollar los diversos marcos que componen la física moderna si abordara esto sin la suposición de que ha descubierto que la Ley de la Gravedad de Newton es incorrecta.

Ján Lalinský

@Kelvin, la aceleración relativa no debe calcularse como lo hizo anteriormente. De esa forma obtienes aceleraciones absolutas de los dos cuerpos con respecto al espacio absoluto. La aceleración relativa de los dos cuerpos es la diferencia entre sus aceleraciones absolutas.

Kelvin

@Javier, Bronius: Me temo que está en mi naturaleza desafiar algo si no tiene sentido para mí, pero lo hice solo haciendo preguntas. Así es como aprendo. Y también es la única forma en que nosotros, como sociedad, podemos aprender si hay algo mal con nuestras ideas y cuándo. De lo contrario, es como decir: "¡cómo se atreve Einstein a desafiar el trabajo de Newton!", Y entonces no llegaríamos a ninguna parte. PD. Bronius, leí tu respuesta directa y tiene mucho sentido para mí, ¡gracias por iluminarme! :-)

Gert

Creo que deberías aplicar un poco de humildad aquí. Señala una paradoja inexistente y, sin embargo, afirma que lo que está haciendo es algo comparable a Einstein con respecto a Newton. Eso es tonto. Aquí has cuestionado algo que no entendías , no algo que no tenía sentido . No són la misma cosa. No es eso lo que hizo Einstein.

Respuestas (3)

¿Paradoja fundamental con la Ley de Gravedad de Newton?

Es como dijo Gert, Kelvin. No hay paradoja en absoluto. Si estás parado sobre un ladrillo que cae, aceleras hacia la Tierra a 9,8 m/s². Al mismo tiempo, estoy parado en el suelo y no acelero en absoluto. Pero nuestra velocidad de cierre con respecto al otro es la misma.
Su pregunta está bien, pero es posible que desee tener algo en cuenta. ¿Qué es más probable, que haya una paradoja que nadie haya resuelto en los últimos 350 años, o que simplemente no entendiste algo?
Agregaría a lo que dijo Javier: sería más respetuoso con el trabajo de toda la vida que se dedicó a desarrollar los diversos marcos que componen la física moderna si abordara esto sin la suposición de que ha descubierto que la Ley de la Gravedad de Newton es incorrecta.
@Kelvin, la aceleración relativa no debe calcularse como lo hizo anteriormente. De esa forma obtienes aceleraciones absolutas de los dos cuerpos con respecto al espacio absoluto. La aceleración relativa de los dos cuerpos es la diferencia entre sus aceleraciones absolutas.
@Javier, Bronius: Me temo que está en mi naturaleza desafiar algo si no tiene sentido para mí, pero lo hice solo haciendo preguntas. Así es como aprendo. Y también es la única forma en que nosotros, como sociedad, podemos aprender si hay algo mal con nuestras ideas y cuándo. De lo contrario, es como decir: "¡cómo se atreve Einstein a desafiar el trabajo de Newton!", Y entonces no llegaríamos a ninguna parte. PD. Bronius, leí tu respuesta directa y tiene mucho sentido para mí, ¡gracias por iluminarme! :-)
Creo que deberías aplicar un poco de humildad aquí. Señala una paradoja inexistente y, sin embargo, afirma que lo que está haciendo es algo comparable a Einstein con respecto a Newton. Eso es tonto. Aquí has cuestionado algo que no entendías , no algo que no tenía sentido . No són la misma cosa. No es eso lo que hizo Einstein.

Brionio · Answer 1

Su concepto erróneo no tiene nada que ver con la gravedad: solo se está confundiendo un poco acerca de la aceleración frente a la aceleración relativa.

Prescindamos de la gravedad, ya que es una pista falsa aquí. Digamos que hay dos coches. El automóvil A acelera a $+3 ~\rm m/s/s$ (A la derecha). El auto B acelera en $-5 ~\rm m/s/s$ (es decir, a la izquierda). ¿Hasta aquí todo bien, no? No hay paradoja en que dos autos aceleren a diferentes velocidades.

Ahora, suponga que está sentado en el automóvil B. Si desea medir la aceleración aparente o relativa del automóvil A en relación con usted, simplemente tome la diferencia de las aceleraciones: $(3) - (-5) = 8 ~\rm m/s/s$ . Entonces el auto A está acelerando en $8 ~\rm m/s/s$ en relación con el coche B.

Si usted es el conductor del automóvil A y desea medir la aceleración aparente del automóvil B en relación con usted, siga el mismo procedimiento: $(-5) - (3) = -8 ~\rm m/s/s$ . Entonces el auto B está acelerando en $-8 ~\rm m/s/s$ en relación con el coche A.

Eso me parece perfectamente intuitivo y libre de contradicciones. La magnitud de la aceleración relativa de cada automóvil es igual, como debe ser, ya que la aceleración relativa de cada automóvil con respecto al otro representa la tasa a la que disminuye la distancia de separación, que debe ser igual para ambos.

Volviendo a tu ejemplo, la magnitud de la aceleración relativa de las masas es $G M_a / r^2 + G M_b / r^2$ †. Aunque tienen diferentes aceleraciones en el marco de referencia que elegiste al comienzo del problema , su aceleración relativa es la misma.

† si te preguntas sobre el signo más, considera que la gravedad produce aceleraciones en los dos cuerpos que tienen dirección opuesta, que debemos representar dando a una de las dos aceleraciones un signo negativo. Cuando tomamos la diferencia entre las aceleraciones, ese signo negativo se convierte en positivo.

Si desea una justificación del procedimiento "tomar la diferencia de la aceleración", ya que es el corazón de mi argumento, aquí está:

Dejar $x_a$ y $x_b$ sean las posiciones de los dos carros. La separación de los coches debe ser

s = X_{a} - X_{b}

$s = x_a - x_b$ Si queremos saber la tasa de cambio de la separación de los carros, podemos sacar la derivada de esa ecuación:

\frac{d s}{d t} = \frac{d X_{a}}{d t} - \frac{d X_{b}}{d t}

$\frac{ds}{dt} = \frac{dx_a}{dt} - \frac{dx_b}{dt}$ Si volvemos a tomar la derivada, debería darnos la tasa de cambio de la tasa de cambio de la separación, que es la aceleración relativa:

\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \frac{d^{2} X_{a}}{d t^{2}} - \frac{d^{2} X_{b}}{d t^{2}}

$\frac{d^2s}{dt^2} = \frac{d^2x_a}{dt^2} - \frac{d^2x_b}{dt^2}$ Las dos cantidades del lado derecho son simplemente las aceleraciones de dos objetos,

a_{a}

$a_a$ y

a_{b}

$a_b$ , entonces

\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = a_{a} - a_{b}

$\frac{d^2s}{dt^2} = a_a - a_b$

Gracias, esto es muy útil y tiene mucho sentido. Creo que mi problema ha sido considerar que NLG se aplica a la aceleración relativa , en lugar de la aceleración absoluta . Entonces, de hecho, la aceleración relativa está dada por G * (Ma + Mb) / r ^ 2 como indicaste, y NO G * Ma / r ^ 2 O G * Mb / r ^ 2 como había pensado.
Y eso también responde a mi última pregunta ("¿cómo puede/debe modificarse NLG para resolver esta paradoja?"): Aceleración relativa = G * (Ma + Mb) / r^2

Gert · Answer 2

No hay que modificarlo, está bien como está. No hay paradoja en absoluto.

La fuerza que atrae a ambos es de hecho $F=G\frac{M_A M_B}{r^2}$ .

Pero la aceleración que experimentan no es la misma (al menos siempre que $M_A \neq M_B$ ) porque sus inercias (masas) no son las mismas. Para uno $F=M_A a_A$ , para el otro $F=M_B a_B$ .

No hay paradoja o contradicción y nada que 'arreglar'..

En ese diagrama, $F=G\frac{M_A M_B}{r^2}$ .

La Tierra acelera en $a_A=G\frac{M_B}{r^2}$ , Júpiter en $a_B=-G\frac{M_A}{r^2}$ .

El signo menos representa el sentido de la $x$ eje y que las aceleraciones son en direcciones opuestas.

Pero esto no responde a mi pregunta: ¿Cómo pueden dos observadores diferentes en A y B ver la aceleración uno hacia el otro a tasas muy diferentes? Seguramente deben ver que aceleran uno hacia el otro al mismo ritmo, y estar de acuerdo en su aceleración relativa , ¿no?
Porque SON diferentes. Esto no es una cuestión de percepción: A y B aceleran uno hacia el otro a ritmos diferentes porque tienen masas diferentes. Misma fuerza pero distinta masa.
Kevin, estás votando negativamente una respuesta correcta. Eso no es justo.
Gert, no estoy hablando de la aceleración absoluta en el espacio absoluto , que estoy de acuerdo podría ser diferente (si existiera el espacio absoluto). Estoy hablando de aceleración relativa , uno hacia el otro . Solo necesita leer la pregunta correctamente, por lo que ES justo.
@Kelvin, está confundiendo dos sistemas de referencia diferentes: toma A en reposo. Cuando A está en reposo B se está moviendo. Cuando B está en reposo, A se mueve. Solo en el centro del sistema de impulso, las partículas se mueven entre sí con el mismo impulso en.wikipedia.org/wiki/… y, por lo tanto, la aceleración debe ser la misma.
Entonces, ¿qué aceleración relativa medirían entre sí ? Deben estar de acuerdo...
cuando estamos observando en la tierra en reposo, hay g estándar para todos los cuerpos. En una partícula que cae, la tierra se ve inmóvil debido a la gran diferencia de masas.
Kevin, ven diferentes aceleraciones el uno hacia el otro PORQUE las aceleraciones $a_A$ y $a_B$ SON diferentes, porque sus masas son diferentes. Aquí no hay paradoja ni misterio.
Entonces Júpiter aceleraría hacia la tierra tan rápido como lo haría la luna, en g??? Lo siento, pero eso no tiene sentido, porque si estuviera en Júpiter, mediría la aceleración de la Tierra hacia mí mucho más rápido que g.
g es para la tierra. Cuando los tamaños son similares las diferencias aparecen como dice Gert
Aún así, ¿cómo podría alguien en Júpiter ver la Tierra acelerando mucho más rápido hacia ellos que alguien en la Tierra ve a Júpiter acelerando hacia ellos? ¡Eso no tiene sentido! Y todavía nadie ha indicado una fórmula donde ambos observadores estarían de acuerdo entre sí...
"Así que Júpiter aceleraría hacia la Tierra tan rápido como lo haría la Luna, en g???" NADIE dijo nada por el estilo, Kevin, ahora estás engañando. Júpiter aceleraría a un valor de $a_J$ eso es mucho más bajo que la luna, digamos $a_m$ , porque la masa de Júpiter es mucho mayor que la de la Luna. Según mi respuesta.
Gert, por favor responde esta simple pregunta, con 2 fórmulas consistentes: ¿Qué tan rápido alguien en Júpiter mediría la aceleración de la Tierra hacia ellos? ¿Y qué tan rápido mediría alguien en la Tierra la aceleración de Júpiter hacia ellos ? Deben estar de acuerdo, porque estamos viendo una aceleración relativa .
Kevin, NO estamos viendo "aceleración relativa". Cada misa, en el marco referencial (por ejemplo, una $x$ eje que pasa por los centros de gravedad de ambos planetas y con origen $0$ en el centro de la Tierra) experimentan una aceleración ABSOLUTA en direcciones opuestas. Las aceleraciones se calculan como se indica en mi respuesta y son proporcionales a la inversa de la masa de cada planeta. Así que el más ligero acelera más rápido que el más pesado.

guest_coll · Answer 3

La aceleración que experimentan localmente es diferente debido a las diferentes masas, mientras que la aceleración que experimentan entre sí es, por supuesto, igual (o al menos sincronizada durante cualquier aproximación), de lo contrario, A golpearía a B (cuando los planetas chocan entre sí) más tarde o antes de que B golpee a A.

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