¿El marco de coordenadas polares no es inercial?

Considere la aceleración expresada en coordenadas polares.

( r ¨ − r φ ˙ 2 ) r ^ + ( r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙ ) φ ^  

No entiendo cuál es la explicación correcta para la presencia de estos términos. Tengo la idea de que las coordenadas polares son solo un caso particular de un marco giratorio no inercial. Lo "especial" de esto es que el punto está constantemente en el X eje (que es el vector unitario orientado al eje r ^ ), que gira constantemente. ¿Es esta la forma correcta de verlo?

Encontré en Wikpedia esta respuesta a mi pregunta.

El término r φ ˙ 2 se refiere a veces como el término centrífugo, y el término 2 r ˙ φ ˙ como el término de Coriolis. Aunque estas ecuaciones tienen cierta semejanza en la forma con los efectos centrífugos y de Coriolis que se encuentran en los marcos de referencia giratorios, no obstante, no son lo mismo . En particular, la velocidad angular que aparece en las expresiones de coordenadas polares es la de la partícula bajo observación, φ ˙ , mientras que en la mecánica newtoniana clásica es la velocidad angular Ω de un marco de referencia giratorio. Las fuerzas centrífugas y de Coriolis físicas aparecen solo en marcos de referencia no inerciales. En cambio, estos términos, que aparecen cuando la aceleración se expresa en coordenadas polares, son una consecuencia matemática de la diferenciación ; estos términos aparecen siempre que se utilicen coordenadas polares. En particular, estos términos aparecen incluso cuando se utilizan coordenadas polares en marcos de referencia inerciales , donde las fuerzas físicas centrífugas y de Coriolis nunca aparecen.

Destaqué las cosas que más me confunden. En particular, aquí se afirma que estos términos no deben interpretarse como causados ​​por fuerzas ficticias, sino que simplemente provienen de la diferenciación. Eso es cierto, pero ¿no es lo mismo para el marco no inercial (¿real?)? Para derivar la expresión de la aceleración en marcos no inerciales, se realiza una diferenciación (que tiene en cuenta la variación de los vectores unitarios).

Además, dice que las coordenadas polares "se usan en el marco de referencia inercial", lo que obviamente va en contra de mi idea de coordenadas polares como dije.

¿Entendí mal Wikipedia o me equivoco al considerar las coordenadas polares como un marco de referencia no inercial?

Supongo que esto se puede argumentar, ya que en "marco inercial" es algo muy físico, mientras que lo que voy a decir es matemático, pero para mí un marco es inercial si y solo si los vectores base se transportan en paralelo entre sí, o alternativamente, si todos los componentes del símbolo/forma de conexión de Christoffel desaparecen. Claramente, este no es el caso de las coordenadas polares, por lo que el marco de coordenadas de las coordenadas polares es un marco no inercial.

Respuestas (3)

La ecuación que escribiste no asume que el sistema de coordenadas polares está girando. La derivación de la ecuación que ha escrito comienza expresando un vector de posición dibujado desde el origen hasta la partícula en movimiento de la siguiente forma:

(1) r → = r r ^
donde el vector unitario radial r ^ es una función de θ , y donde r y θ son funciones de tiempo t. Esta es siempre la ecuación para una posición arbitraria dibujada desde el origen hasta un punto en el plano xy (dado que siempre apunta en la dirección del vector unitario en la dirección radial).

Si tomamos la derivada de la Ec. 1 para el vector de posición con respecto al tiempo, obtenemos el vector de velocidad:

(2) v → = d r → d t = d r d t r ^ + r d r ^ d t = d r d t r ^ + r d r ^ d θ d θ d t = d r d t r ^ + r d θ d t θ ^
Si tomamos la derivada de esta ecuación para la velocidad con respecto al tiempo, obtenemos su ecuación para la aceleración.

Entonces, un marco inercial se puede definir usando coordenadas polares y no habrá fuerza ficticia en él. Pero los símbolos de Christoffel no se desvanecen en las coordenadas polares y la interpretación de los símbolos de Christoffel en la ecuación geodésica es una fuerza ficticia. Así que hay un poco de contradicción. Lo ves...
Mi interpretación de los símbolos de Christoffel para un marco inercial que usa un sistema de coordenadas curvilíneas es que explican los efectos de los cambios en las direcciones de los vectores unitarios de coordenadas (o vectores unitarios). No me parece que representen una fuerza ficticia.
El comentario anterior de @Chet Miller es correcto. Por favor, vea mi respuesta a continuación.

Lo primero que debe hacer es convencerse de que para una partícula en movimiento uniforme, ni su radio ni su ángulo polar pueden esperarse constantes (en general, el movimiento radial tendrá constante θ pero ese es un caso especial) o tener una primera derivada constante.

Sigue estos pasos:

  • Dibuja un X - y origen en una hoja de papel. Este es solo un lugar para medir r desde y una orientación para usar para medir θ (en sentido antihorario desde el + X eje como de costumbre).

  • Dibuje una línea arbitraria que no pase por ese origen y marque a intervalos constantes. Las marcas representan la ubicación de un objeto en movimiento uniforme a intervalos regulares, ¿verdad?

  • Para cada marca sucesiva en la línea (indexada i ) usa un transportador y una regla para encontrar r i y θ i . Estas son las coordenadas polares del objeto en cada tictac sucesivo de algún reloj.

  • Trama r i -versus- i y θ i -versus- i y vea que no son líneas rectas a pesar de que el movimiento es tanto recto como uniforme. Esto debería ser suficiente para convencerlo de que, a diferencia de las coordenadas cartesianas, las coordenadas polares no representan un movimiento uniforme con ecuaciones de movimiento derivadas constantes.

Con un poco más de trabajo, puede hacer una aproximación de diferencia de su tabla de posiciones y calcular la aceleración aproximada del objeto usando la primera expresión en su publicación. Debería acercarse a cero (exactamente cero en el límite infinitesimal).

No estoy seguro si necesito darle instrucciones para ver que el marco no inercial introduzca sus propios términos. Siento que ya lo entiendes.

Consulte la discusión en ¿Por qué aparece la fuerza de Coriolis cuando se derivan las fuerzas sobre una partícula en coordenadas polares? . El punto principal es que en un marco inercial los vectores unitarios de coordenadas polares cambian de dirección.

No deje respuestas duplicadas en varias preguntas. Si las preguntas son lo suficientemente similares como para responderlas de la misma manera, puede marcarlas como duplicadas. Sin embargo, en este caso, las preguntas, aunque similares, tienen puntos de vista algo diferentes, y su respuesta, que parece haber sido redactada para la otra pregunta, incluye algunos elementos que pueden ser confusos en una respuesta a esta pregunta en particular.
Sí. Cambié mi respuesta anterior para referirme a mi respuesta a una pregunta relacionada, en lugar de repetir la misma respuesta aquí.
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