Paradoja de la relatividad especial y equivalencia de gravitación/aceleración

Question

Paradoja de la relatividad especial y equivalencia de gravitación/aceleración

Trimok

Una de las características de la complementariedad del agujero negro es la siguiente:

Según un observador externo, la dilatación infinita del tiempo en el horizonte mismo hace que parezca que se necesita una cantidad de tiempo infinita para alcanzar el horizonte, mientras que el observador en caída libre alcanza el horizonte en una cantidad de tiempo finita.

Pero, debido a que no podemos diferenciar entre aceleración y gravitación, puede ser equivalente a la siguiente "paradoja" en Relatividad Especial.

Sea el avión $z = 0$ ser una especie de "horizonte".

Sea un observador $O_1$ que está en $z = 1 \space m$ (1 metro), en $t = 0$ , y que se mueve hacia la izquierda (hacia la disminución $z$ ), con una velocidad constante $(-1) \space m/s$ .

Sea un segundo observador $O_2$ , que tiene la posición $z = 1$ m (1 metro), en $t = 0$ , pero que se mueve hacia la derecha (hacia el aumento $z$ ), y que está acelerando, en un sentido preciso (ver más abajo).

Divide la distancia inicial del observador $O_1$ al "horizonte" $z=0$ , en una serie de intervalos de distancia $L_n$ , con $L_n = 1/2^n \space m$ (metro):

1 / 2, 1 / 4, 1 / 8, . . . ., . . ., 1 / 2^{norte}, . . .

$1/2, 1/4, 1/8,....,..., 1/2^n,...$

La distancia inicial (1 metro) entre el observador $O_1$ y el horizonte es:

1 = \sum_{norte = 1}^{\infty} L_{norte}

$1 = \sum^{\infty}_{n=1} L_n$

Para cada intervalo de distancia $L_n$ , el tiempo transcurrido correspondiente (desde el observador $O_1$ punto de vista) necesario para el observador $O_1$ para llegar al final del intervalo $L_n$ , es $\tau_n = 1/2^n s \space (second)$ , porque su velocidad es $-1 \space m/s$ .

El tiempo total (del observador $O_1$ punto de vista), necesario para el observador $O_1$ ,para alcanzar el horizonte $z = 0$ es entonces :

τ = \sum_{norte = 1}^{\infty} τ_{norte} = \sum_{norte = 1}^{\infty} 1 / 2^{norte} = 1 s

$\tau = \sum^{\infty}_{n=1} \tau_n = \sum^{\infty}_{n=1} 1/2^n = 1 s$

Ahora, para cada intervalo $L_n$ , podemos ajustar la velocidad del observador que acelera $O_2$ , tal que, debido a la dilatación del tiempo, el tiempo transcurrido necesario para que el observador $O_1$ viajar durante el intervalo $L_n$ , desde el punto de vista del observador $O_2$ , ser :

T_{norte} = a_{norte} τ_{norte}

$T_n = a_n \tau_n$ , dónde

a_{n}

$a_n$ es un coeficiente > 1

Desde el punto de vista del observador $O_2$ , el tiempo necesario para el observador $O_1$ llegar al horizonte $z = 0$ es entonces :

T = \sum_{norte = 1}^{\infty} T_{norte} = \sum_{norte = 1}^{\infty} a_{norte} τ_{norte} = \sum_{norte = 1}^{\infty} a_{norte} / 2^{norte}

$T = \sum^{\infty}_{n=1} T_n = \sum^{\infty}_{n=1} a_n \tau_n = \sum^{\infty}_{n=1} a_n/2^n$

Eligiendo, por ejemplo, $a_n = 2^{n+\epsilon}$ , dónde $\epsilon >0$ , es fácil ver que, desde el observador $O_2$ punto de vista, el observador $O_1$ necesita una cantidad infinita de tiempo para llegar al horizonte $z=0$ , mientras que desde el $O_1$ punto de vista, alcanza el horizonte en un segundo!

Estas de acuerdo ?

Alan Romero

Pensé que un objeto que cae seguiría una geodésica de-sitter a un observador externo, lo que significa que debe continuar viajando hacia adentro en el horizonte. También pensé que la dilatación del tiempo infinito implicaba que el objeto se congela en el tiempo cuando pasa por el horizonte, no que permanezca allí para siempre. Pero estoy hablando de la formalización para un observador externo, la luz que ves mostraría a alguien congelado sobre el horizonte.

Trimok

Bueno, si la dilatación del tiempo es infinita, el objeto está congelado, pero, en mi ejemplo, la dilatación del tiempo, aunque aumenta, nunca es infinita (en un tiempo de observador externo dado). Entonces el objeto, desde el punto de vista del observador externo, nunca se congela, se mueve, pero simplemente no llega al horizonte.

Alan Romero

Debo matizar que no soy un experto en temas de GR, como lo demuestran mis propias preguntas. Te veo describiendo un límite asintótico. Si, en esta formulación, la distancia al horizonte es finita, entonces para que se mantenga esta imagen de "nunca cruza", entonces la velocidad tendría que limitarse a cero (entre otros requisitos). Un objeto inercial (un "geodésico" si tengo la terminología correcta) siempre viajaría hacia adentro y siempre aceleraría hacia el horizonte. Independientemente de lo que le suceda al observador que cae, el concepto de velocidad y posición aún siguen sus reglas regulares para el observador externo.

sean

Si uno se coloca estacionario a 1G en la Tierra y se mide una fuente de luz como un láser en la Luna, no se mide un efecto Doppler en constante cambio. Si uno está en el espacio y está acelerando constantemente para mantener una fuerza de 1G, y se está acercando a la luna, entonces SÍ detecta un efecto Doppler que cambia constantemente al observar la luz láser. Esto es lo que me confunde !

Respuestas (4)

Paradoja de la relatividad especial y equivalencia de gravitación/aceleración

Pensé que un objeto que cae seguiría una geodésica de-sitter a un observador externo, lo que significa que debe continuar viajando hacia adentro en el horizonte. También pensé que la dilatación del tiempo infinito implicaba que el objeto se congela en el tiempo cuando pasa por el horizonte, no que permanezca allí para siempre. Pero estoy hablando de la formalización para un observador externo, la luz que ves mostraría a alguien congelado sobre el horizonte.
Bueno, si la dilatación del tiempo es infinita, el objeto está congelado, pero, en mi ejemplo, la dilatación del tiempo, aunque aumenta, nunca es infinita (en un tiempo de observador externo dado). Entonces el objeto, desde el punto de vista del observador externo, nunca se congela, se mueve, pero simplemente no llega al horizonte.
Debo matizar que no soy un experto en temas de GR, como lo demuestran mis propias preguntas. Te veo describiendo un límite asintótico. Si, en esta formulación, la distancia al horizonte es finita, entonces para que se mantenga esta imagen de "nunca cruza", entonces la velocidad tendría que limitarse a cero (entre otros requisitos). Un objeto inercial (un "geodésico" si tengo la terminología correcta) siempre viajaría hacia adentro y siempre aceleraría hacia el horizonte. Independientemente de lo que le suceda al observador que cae, el concepto de velocidad y posición aún siguen sus reglas regulares para el observador externo.
Si uno se coloca estacionario a 1G en la Tierra y se mide una fuente de luz como un láser en la Luna, no se mide un efecto Doppler en constante cambio. Si uno está en el espacio y está acelerando constantemente para mantener una fuerza de 1G, y se está acercando a la luna, entonces SÍ detecta un efecto Doppler que cambia constantemente al observar la luz láser. Esto es lo que me confunde !

WillO · Answer 1

Preguntas cómo se ven las cosas "desde $O_2$ punto de vista". No está claro qué significa esto. ¿Estás preguntando cómo se ven las cosas desde $O_2$ ¿El marco inercial instantáneo de 's (y cómo eso cambia con el tiempo)? O cómo se ven las cosas desde algún sistema de coordenadas no inercial en el que $O_2$ ¿La curva-mundo de 's es el ``eje'' espacial? Si es lo último, hay más de un sistema de coordenadas de este tipo, por lo que la pregunta no está bien especificada. Por lo tanto, asumiré que te refieres a lo primero.

En esa interpretación, por supuesto, nunca hay ningún evento que $O_2$ dice que se encuentra infinitamente lejos en el futuro, porque, en cualquier marco inercial, cada punto está etiquetado con coordenadas finitas.

Pero es posible para $O_2$ creer permanentemente que $O_1$ aún no ha llegado al horizonte. Incluso es posible que $O_2$ revisar continuamente hacia arriba su cálculo de cuánto tiempo llevará $O_1$ para llegar allí

Más explícitamente:

Dejar $O_1$ golpear el horizonte en el evento $E=(t=1,x=0)$ (en su propio marco). (Estoy configurando $v=1$ , por lo que su viaje comenzó en algún lugar $x<1$ .)

Suponer $O_2$ sigue la trayectoria $x=\sqrt{1+t^2}$ (como se expresa en $O_1$ marco). Dejar $F=(t_0,x_0=\sqrt{1+t_0^2})$ ser cualquier punto de esta trayectoria, de modo que $O_2$ La velocidad instantánea de (relativa a $O_1$ ) es $v=t_0/\sqrt{1+t_0^2}$ . (Tenga en cuenta que esto es menos de $1$ , por lo que nuestra trayectoria postulada es factible.)

En $O_1$ marco de , el vector $E-F$ tiene coordenadas $(1-t_0,-x_0)$ . Lorentz-transformando esto a $O_2$ marco instantáneo en $F$ , el mismo vector tiene coordenada de tiempo

t_{0}^{'} = \frac{1 - t_{0} + X_{0} v}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \sqrt{1 + t_{0}^{2}} > 0

$t_0'={1-t_0+x_0v\over\sqrt{1-v^2}}=\sqrt{1+t_0^2}>0$

Por lo tanto, en cada punto de su viaje, $O_2$ dice ese evento $E$ se encuentra en el futuro. En otras palabras, siempre dice que $O_1$ aún no ha llegado al horizonte.

Además, debido a que la expresión $\sqrt{1+t_0^2}$ está aumentando en $t_0$ , $O_2$ siempre está revisando hacia arriba su cálculo de cuánto tiempo va a tomar $O_1$ para llegar a donde va.

Por supuesto · Answer 2

Bueno, una solución heurística sería que en realidad es imposible que alguien cruce el horizonte de eventos. Como notó, el agujero negro de Schwarzschild es dual (al menos localmente, es decir, si no da un giro completo) al observador de Rindler (el uniformemente acelerado).

El observador estacionario en el caso de Schwarzschild es el observador uniformemente acelerado en el caso de Rindler. El observador de caída libre para el agujero negro de Schwarzschild es por tanto el inercial en el caso de Rindler, es decir, el que no se mueve en 0.

Ahora, desde el punto de vista del observador uniformemente acelerado, existe un evento de horizonte que corta la mitad del espacio minkowski. Claramente, el observador acelerado nunca verá que nadie lo cruce. Obviamente, desde el punto de vista del observador inercial, no existe tal horizonte (el horizonte es "ficticio"), y no tendría problema en cruzar esta línea ficticia en un tiempo finito.

El punto es que para que el horizonte de eventos siga existiendo (en el mismo lugar y tiempo) para el observador acelerado, ¡este último tiene que seguir acelerando hasta el infinito a una tasa constante! Esto es imposible, esto significaría que es posible traer contigo una cantidad infinita de energía. Existe pues un tiempo $t_c$ en el marco acelerado tal que, después de este tiempo, se vuelve imposible acelerar más a una tasa uniforme. Claramente, acelerar menos "moverá" el horizonte de eventos, y la inercia simplemente lo eliminará por completo. El horizonte de eventos se aleja cada vez más del observador inercial o se desvanece, de tal manera que nadie lo cruzó jamás.

Ahora bien, ¿qué papel juega esto en la Relatividad General? Bueno, esperaría (y desearía) que la radiación de Hawking demuestre que esto es exactamente lo que sucede: cualquier agujero negro se está evaporando "demasiado rápido" para que alguien cruce el horizonte, o se desvanece por completo. Esto resuelve todas las paradojas.

jordán smith · Answer 3

Cualquier objeto o masa que emita luz que entre en el horizonte no se verá pasar, al igual que no se puede ver el sol pasar por el horizonte. Por lo tanto, el observador solo verá que el objeto llega al horizonte y nunca caerá en el centro del agujero negro. Sin embargo, el viajero podría ver al observador más allá del horizonte. El objeto que se acerca o pasa por el horizonte experimentará una dilatación del tiempo inversamente proporcional a la cantidad de energía ganada en relación con su masa en reposo (conservación de energía y momento). Se puede hacer una deducción adicional de que debido a que un objeto de masa acelera hacia la velocidad de la luz c dentro o alrededor de un agujero negro, el propio desplazamiento del objeto parecería como si ocurriera instantáneamente, suponiendo que uno llegara al lado opuesto del agujero negro o dondequiera que esté su destino, ileso y completo. Cabe señalar que se observa que los agujeros negros toman masa y expulsan energía. Es muy probable que la masa consumida por un todo negro se transforme en energía a una tasa de c² y quizás viceversa.

mago brillante · Answer 4

Si se nos permite resolver el problema de los cuerpos que aceleran en la relatividad especial, que postula la relatividad del movimiento, entonces siempre podemos revertir la situación y suponer que es $O_1$ y $z=0$ acelerando con respecto a $O_2$ .

En tal caso, y como siempre hay constante $v'$ (Usé variable prima para denotar movimiento) entre $O_1$ y $z=0$ , entonces independientemente de cuán grande sea la aceleración $a$ es el $O_1$ cruzará $z=0$ Tiempo después $t'=1s$ . Esto se llevará a cabo a distancia. $x'$ Entre $O_1$ y $O_2$ que podemos calcular en base a la aceleración $a$ . En última instancia, obtendremos el dilatado, aunque finito (ya que $t'$ es finito), $t$ para este momento desde la perspectiva de $O_2$ .

Entonces podemos volver a nuestro estacionario $O_2$ calculando $x$ (Residencia en $x'$ ) Entre $O_1$ y $O_2$ . Esto nos permitirá calcular el tiempo $t_1$ necesario para que la luz viaje esta distancia $x$ . Obviamente, será finito, por lo que el tiempo total de $T=t + t_1$ también será finito. Por lo tanto $O_2$ veremos $O_1$ alcanzar $z=0$ tiempo infinito $T$ .

Si alguien dice que no podemos hacer eso, simplemente no podemos aplicar la RS a esta situación, lo que significa que no tenemos la paradoja de la RS aquí.

EDITAR : En la primera oración de mi respuesta, escribí: " Si se nos permite resolver el problema de acelerar los cuerpos en SR ...". Existen numerosas afirmaciones (no solo en este foro) de que SR puede manejar la aceleración de manera fácil y correcta, por lo que decidí mostrar lo que sucede cuando lo hace.

Ahora, personalmente prefiero apegarme al postulado de Einstein que significa: "No deberás considerar marcos no inerciales en la Relatividad Especial":

"Si, en relación con K, K' es un sistema de coordenadas que se mueve uniformemente sin rotación, entonces los fenómenos naturales siguen su curso con respecto a K' de acuerdo exactamente con las mismas leyes generales que con respecto a K". Y luego: "Para lograr la mayor claridad posible, volvamos a nuestro ejemplo del vagón de ferrocarril que se supone que viaja uniformemente. Llamamos a su movimiento una traslación uniforme ("uniforme" porque es de velocidad y dirección constantes).

Sin embargo, en la discusión a continuación, John Rennie sostiene que la aceleración puede considerarse correctamente en RS, y también que al hacerlo invalidamos el postulado de que no se prefiere ningún marco de referencia. Entonces, nos deshacemos de dos postulados básicos de SR (marcos inerciales y marcos no preferidos), ¿y seguimos llamándolo SR? Para mí es como poner una vaca con un plato "Vaca", y luego reemplazar la vaca con una cabra, pero manteniendo el mismo plato. Disculpe mi ejemplo trivial, pero así es como lo veo.

John Rennie incluso citó a John Baez en su propia respuesta a la pregunta (ahora eliminada). Sin embargo, si uno sigue este enlace y hace clic en "relojes acelerados" , encontrará esto como explicación: " ... la velocidad del reloj acelerado es idéntica a la velocidad del reloj en un 'marco inercial momentáneamente commovible' (MCIF), que podemos imaginar está sosteniendo un reloj de inercia que por un breve momento se desacelera hasta detenerse junto con el reloj acelerado, de modo que su velocidad relativa es momentáneamente cero. En ese momento están marcando la misma velocidad. Un momento después, el reloj acelerado tiene un nuevo MCIF, nuevamente uno que se mueve momentáneamente para igualar su velocidad, y hay un nuevo reloj de inercia que se desacelera brevemente hasta detenerse junto con el reloj acelerado." Lo que significa, en lenguaje sencillo, que el reloj está detenido y, sin embargo, al mismo tiempo está corriendo . Ahora, eso no es SR, eso es SF para mí... (He visto otras dos explicaciones para la aceleración en SR en este foro, y ambos usaron exactamente el mismo truco o uno muy similar).

Einstein, al derivar sus ecuaciones de campo para GR dijo (página 98) aquí : "Para regiones tetradimensionales infinitamente pequeñas, la teoría de la relatividad en el sentido restringido es apropiada, si las coordenadas se eligen adecuadamente". La "relatividad en sentido restringido" es simplemente relatividad especial. Por lo tanto, creía que necesitaba ir a "regiones infinitamente pequeñas" para deshacerse de la aceleración (es decir, la gravedad, que él, a través de su principio de equivalencia, postula que es la misma para probar su teoría GR), y poder usar SR . Y también dijo en este mismo libro (página 90): " Por la palabra especial se significa que el principio [de relatividad] se limita al caso, donde K' tiene un movimiento de traslación uniforme con referencia a K". ¡Aquí vamos! Especial, porque no hay aceleraciones. Si introducimos aceleraciones, ya no estamos en el terreno de la "relatividad en el sentido restringido" llamado "especial".

Esto no quiere decir que lo que dijo Einstein hace 100 años nunca pueda ser cuestionado. Él no es dios en absoluto, y la ciencia sigue adelante. Tengo mis propias dudas sobre varias de sus afirmaciones. Pero entonces, si uno quiere usar su teoría y, sin embargo, deshacerse de sus postulados básicos, entonces necesita demostrar que es un movimiento válido. Y, obviamente, no estoy diciendo que la física no pueda considerar las aceleraciones. Seguro que pueden. Pero para afirmar que se puede hacer sobre la base de la RS, simplemente hay que probarlo. Debo verlo para creerlo.

Lo que realmente probé en mi respuesta es que si introducimos la aceleración en SR y, sin embargo, hacemos lo que la teoría nos permite hacer, es decir, cambiar los marcos de referencia, entonces obtendremos dos resultados diferentes. La interpretación de este hecho parece demasiado obvia.

La aceleración es absoluta en SR, y siempre es inequívoco quién está acelerando y quién no: la persona que acelera es la que siente una fuerza. Eso significa que la suposición en su primer párrafo no está justificada.
Hay sobre marcos de referencia absolutos en RS. Si hay uno, entonces no es un caso de SR.
La velocidad no es absoluta en SR, pero la aceleración es absoluta en SR.
Estoy hablando de marcos de referencia. Lo que dice excluye la aceleración de las consideraciones de SR (con lo que no estoy en desacuerdo).
En SR, los marcos inerciales se definen como aquellos que tienen una velocidad constante entre sí, es decir, su aceleración es cero. Es por eso que no hay marcos inerciales preferidos (o para usar su término absoluto ) en SR. Si considera acelerar los cuadros, entonces hay un cuadro preferido, es decir, el cuadro en el que la aceleración es cero. La aceleración se puede manejar perfectamente bien en SR, pero debe tener cuidado con el cálculo.
Eche un vistazo al "postulado del reloj en tictac" del enlace de John Baez: "En otras palabras, la frecuencia del reloj acelerado es idéntica a la frecuencia del reloj en un "marco inercial momentáneamente commovible" (MCIF), que podemos imaginar que está sosteniendo un reloj de inercia que por un breve momento se desacelera hasta detenerse junto con el reloj acelerado, de modo que su velocidad relativa es momentáneamente cero. En ese momento están marcando la misma velocidad". Este tipo dice que el "reloj inercial" se detiene y al mismo tiempo está corriendo. ¿Realmente compras esto?
Si desea publicar esto como una pregunta, puedo demostrar (usando la métrica de Minkowski) por qué la aceleración no afecta la frecuencia del reloj.
No tengo dudas, especialmente cuando veo trucos como el de arriba. Pero puede hacerlo usted mismo, tal como lo hizo con la pregunta sobre viajar a un planeta lejano. (Por cierto, ¿podría responder mi comentario a su respuesta allí sobre la dilatación del tiempo y la distancia?)
@JohnRennie: Por cierto, Einstein, al derivar sus ecuaciones de campo GR, se redujo a distancias muy pequeñas para usar SR, porque afirmó que no hay curvatura (aceleración) en este nivel.
Y una cosa más. Esa es otra cita, bastante significativa, de la fuente que proporcionó en su respuesta (que ya no está): "El postulado del reloj no pretende ser obvio, y no se puede probar. No es simplemente algún tipo de resultado trivial obtenido escribiendo la relatividad especial usando coordenadas no cartesianas. Más bien, es una declaración sobre el mundo físico. Pero no sabemos si es verdad; es solo un postulado".
Estás malinterpretando y, por lo tanto, malinterpretando a John Baez. Él no dice que el reloj de inercia deja de funcionar, simplemente que su velocidad (instantáneamente) iguala la velocidad con el marco que acelera, y así durante ese instante los dos marcos están en reposo el uno con respecto al otro.

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