¿Papel de las leyes de potencia en la astronomía?

Invariancia de escala y autosimilitud

Las leyes de potencia básicamente significan que no hay una escala preferida, es decir, que una propiedad física es invariante de escala . Cualquier desviación de una ley de potencia significa que el Universo de alguna manera piensa que la escala en la que se descompone tiene algún significado especial. En otras palabras, una ley de potencia describe la autosimilitud$^\dagger$.

Puedes ver esto matemáticamente considerando una escala de la variable independiente$x$en una ley de potencia$y(x)=x^n$por un factor constante$\lambda$; el resultado es solo una escala de la variable dependiente por otro factor

$$y(\lambda x) = (\lambda x)^n = \lambda^n x^n = \lambda^n y.$$

Por supuesto, nada es infinitamente similar a sí mismo, pero muchos procesos lo son hasta cierto punto. Y si tiene un proceso que depende de muchos subprocesos que están descritos por leyes de potencia dentro de algún dominio, el resultado también evolucionará hacia una ley de potencia.

Leyes de potencias en astronomía…

En astronomía, a menudo ves que las leyes de potencia son una buena descripción de alguna relación hasta una cierta escala, después de lo cual ves un "corte exponencial", es decir, donde la relación pasa a la exponencial más pronunciada.

Un ejemplo notable de esto es la función de masa de halo (HMF) de las estructuras en el Universo, donde las distribuciones de masas (halo de materia oscura) están bien descritas por la ley de potencia desde las masas más bajas hasta una masa "característica", después de lo cual el la densidad numérica del objeto disminuye rápidamente con la masa ( Press & Schechter 1974 ). De hecho, muchas relaciones en astronomía se remontan a este formalismo jerárquico que tiene su origen en la suposición de que las sobredensidades tienen una distribución gaussiana. Las relaciones de escala entre masas, tamaños, tasas de formación de estrellas, luminosidades, mecanismos de retroalimentación, etc. dan como resultado nuevas leyes de potencia.

Suponiendo una relación masa-luz constante$M/L$de las galaxias, la función de luminosidad (LF) de las galaxias debería seguir de cerca la MF. Sin embargo, por observación encontramos que el LF se suprime tanto en escalas de masa más altas como más bajas que la masa característica. Se cree que la razón es la retroalimentación que previene la formación de estrellas al calentar el gas y/o empujarlo fuera de la galaxia; en el extremo de alta masa, tiene poderosos núcleos galácticos activos (AGN), mientras que en el extremo de baja masa, donde el potencial gravitacional es menor, la actividad estelar puede hacer el trabajo.

^{LF predicho asumiendo un Jenkins et al (2001) con una constante$M/L$(cian), y observado$K$banda LF (amarillo). Figura de Benson et al. (2003) con mis propias anotaciones.}

Resulta que la Vía Láctea está bastante cerca de ser una masa y una luminosidad tan características, por lo que a veces escuchas que la Vía Láctea es una galaxia "típica".

El LF generalmente se describe mediante una función de Schechter . En los últimos años, sin embargo, estamos viendo evidencia de que el corte exponencial es un poco demasiado drástico, y que el extremo de alta masa puede describirse mejor con otra ley de potencia, aunque con un índice pronunciado, es decir, la llamada ley de potencia rota . (ver, por ejemplo, Oesch et al. 2018 ).

…y en la naturaleza en general

Las leyes de potencia son comunes no solo en astronomía, sino en toda la naturaleza, e incluso en entornos "artificiales", como la lingüística (la aparición de palabras en un idioma), la economía (por ejemplo, la distribución de ingresos) y la sociología (por ejemplo, el tamaño de las ciudades). .

En algunos casos, la razón se puede atribuir al hecho de que incluso las leyes que no son potencias a menudo se comportan como leyes potencias en intervalos limitados. Otras funciones que ocurren en la naturaleza, tales como$\exp(x)$y$\sin(x)$, puede ser expandido por Taylor, y cerca de los "puntos críticos" domina el primer término.

De hecho, no estoy seguro de si la razón de la ubicuidad de las leyes de poder en la naturaleza se entiende por completo. Creo que se puede explicar en muchos casos, pero no en general. Un ejemplo que se puede explicar, matemáticamente, es que si los procesos estocásticos con un crecimiento exponencial en la expectativa son "matados" (??u observados??) al azar, la distribución del estado muerto u observado exhibe un comportamiento de ley de potencia en una o ambas colas ( Reed y Hughes 2002 ).

¡Pero cuidado!

Dicho esto, creo que a veces hay una tendencia a asumir una relación de ley de potencia entre variables donde no se espera necesariamente ninguna. Una ley de potencia es una relación lineal si tomas el logaritmo de ambos$x$y$y$, y probablemente el hecho de que las desviaciones de alguna relación se supriman en un diagrama logarítmico a veces es demasiado atractivo...

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$\dagger$_{Para ser justos, la invariancia de escala y la autosimilitud no son exactamente lo mismo, ya que la primera describe una escala continua, mientras que la segunda incluye escalas discretas como fractales que son idénticos a sí mismos solo en ciertos pasos y ciertas regiones.}

Debo admitir que las leyes de potencia (en general) solían ser mi truco , por lo que estoy feliz de arrojar algo de luz sobre su importancia general en la física, que obviamente también es válida para la astronomía.

La idea principal de una ley de potencia está muy bien escrita en Wikipedia, pero la parte esencial es la que destaco en la siguiente cita:

[Una ley de potencia es] una relación funcional entre dos cantidades, donde un cambio relativo en una cantidad da como resultado un cambio relativo proporcional en la otra cantidad, independientemente del tamaño inicial de esas cantidades

La parte (matemáticamente) buena es exactamente esto, que en un rango realmente grande de valores de x, los valores de y siguen la misma dependencia. Por lo general, "rango realmente grande" significa valores que se extienden entre 3 y hasta 10 potencias de diez.

Cuando se ajustan leyes de potencia en la práctica, hay efectos en los lados de la escala, es decir, para pequeños y grandes$x$-valores, donde generalmente se atribuyen a "efectos de tamaño finito".

Otras lecturas

• Existe el sabor de investigación Criticidad autoorganizada (SOC) que "se considera que es uno de los mecanismos por los cuales surge la complejidad en la naturaleza" . Uno de los padres (y madres) fundadores fue el difunto Per Bak . Su libro Cómo funciona la naturaleza es accesible para los laicos y en mi humilde opinión una buena lectura.

El modelo politrópico de las estrellas hizo posibles los primeros cálculos numéricos de la estructura estelar utilizando cualquier cosa, desde calculadoras mecánicas hasta las primeras computadoras electrónicas y, en ciertos casos, ¡incluso analíticamente!

En astrofísica, un politropo se refiere a una solución de la ecuación de Lane-Emden en la que la presión depende de la densidad en la forma

$$P=K\rho ^{{(n+1)/n}}$$

dónde$P$es presión,$\rho$es densidad y$K$es una constante de proporcionalidad. El constante$n$se conoce como índice politrópico; tenga en cuenta, sin embargo, que el índice politrópico tiene una definición alternativa como con$n$como exponente.

Ver respuestas a:

• Math SE: ¿Podría haber soluciones exactas para la ecuación de Lane-Emden para n≥0 reales que no sean 0, 1 o 5?
• ¿Alguna vez se ha modelado analíticamente la evolución estelar? ¡ especialmente la respuesta de @ProfRob !
• ¿El índice politrópico variable de Eddington se ajusta mejor a los datos del modelo solar estándar?
• ¿Gravedad dentro de una estrella?