¿Origen de Q para el conjunto de los números racionales?

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Dedekind fue el primero en usar una letra (R) para conjuntos de números racionales en 1872, luego, a partir de 1895, Peano comenzó a usar la letra r (minúscula) para denotar el mismo conjunto (y, a partir de 1889, R para el conjunto de racionales positivos). Otros autores propusieron letras diferentes, y solo a principios de los años cuarenta Bourbaki introdujo la letra Q (no la negrita de pizarra$\mathbb{Q}$). Posiblemente, la versión en negrita de pizarra se introdujo (quizás) a finales de los años cincuenta o (más probablemente) a principios de los sesenta, pero esa es otra cuestión .

Ahora, algunas referencias.

Dedekind usó la letra R (mayúscula) para el conjunto de números racionales en Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872),$\S 3$, página 16 ("die Gerade L ist unendlich viel reicher an Punkt-Individuen, als das Gebiet R der racionalen Zahlen an Zahl-Individuen", es decir, "la línea recta L es infinitamente más rica en puntos-individuos que el dominio R de los números racionales in number-individuals", aquí la traducción al inglés).

Acerca de Peano, Wikipedia "claramente" se refiere a algún lugar en el Formulaire de mathématiques/Formulaire Mathématique/Formulario Mathematico , donde Peano en realidad usó extensamente letras para denotar conjuntos ( classe ) de números. De eso no hay duda, ya que este es el único trabajo de Peano sobre el tema para el año 1895 (ver aquí la bibliografía completa de Peano, los trabajos para el año 1895 comienzan en la página 45). El problema es que (ver la página wiki)

las cinco ediciones del Formulario [no son] ediciones en el sentido usual de la palabra. Cada uno es esencialmente una nueva elaboración, aunque se repite mucho material. Además, el título y el idioma variaron: los tres primeros, titulados Formulaire de Mathématiques, y el cuarto, titulado Formulaire Mathématique, estaban escritos en francés, mientras que en la quinta edición, titulada Formulario Mathematico, se utilizó el latino sine flexione, invención del propio Peano. . ... ¡Ugo Cassina enumera no menos de veinte artículos publicados por separado como partes del Formulario 'completo'!

y además el Formulario fue escrito por muchos colaboradores de Peano, como Giovanni Vailati, Mario Pieri, Alessandro Padoa, Giovanni Vacca, Vincenzo Vivanti, Gino Fano y Cesare Burali-Forti, por lo que cuando uno escribe "en el Formulario Peano dice..." hay que entender que en realidad se está refiriendo a Peano oa uno de sus colaboradores.

Las siguientes citas están tomadas del Formulario Mathematico editado en 1908, por ser la exposición más clara y completa del tema. Uno puede leer el Formulario de 1908 aquí , mientras que las diferentes ediciones del Formulaire de mathématiques están en Gallica, por ejemplo aquí .

Primero Peano escribe (en I.$\S 1$, por supuesto) el símbolo$N_0$, Juntos con$0$y$+$como "idea primitivo" [sic], es decir, ideas primitivas indefinidas utilizadas para definir todos los demás símbolos de la "Arithmetica", y cuyo sentido está determinado por un sistema de proposiciones, el primero es:

$\cdot 0\quad N_0\ \varepsilon\ \text{Cls}$

que leyó"$N_0$es una clase", y así sucesivamente. En II.$\S 5$encontramos$N_1=N_0+1$, entonces$N_1$es el conjunto de los números naturales estrictamente positivos, y en II.$\S 6$él usa$+N_0$y$-N_0$para números positivos y negativos, y$n$para la unión (así que$n$representa$\mathbb{Z}$). Luego en III.$\S 8$leemos

$\cdot 2 \quad R=N_1/N_1$

y

$R=$"Número de razones". Illo es omni expresión de forma$b/a$, ubi$a$et$b$es numero natural...

es decir,$R$denota un número racional , y es cualquier expresión de la$a/b$dónde$a$y$b$son números naturales; claramente Peano también introduce$r=+R\cup -R\cup \iota 0$(III.$\S 9 1\cdot 0$). Además agrega

$\cdot 01\quad r=n/N_1$

$r=$número de razón relativa

y entonces$r$representa$\mathbb{Q}$. Finalmente, en III.$\S 12$encontramos

$5\cdot 0\quad Q=l'`[\text{Cls}` R \cap u\ni(\exists u.\exists R=\eta u)])$

que lee Peano

$Q$, lege "quantitate reale positivo" es omni limite supero de aliquo classe$u$de raciocinio, existente, et tale que existe aliquo raciocinio maiore de omni$u$

es decir,$Q$, que se lee como "números reales positivos", es cualquier supremo de algún conjunto existente (clase)$u$de racionales, tal que existe algún número racional mayor que todos los elementos en$u$; claramente en III.$\S 13$Peano define$q$como$Q\cup -Q\cup \iota 0$, y así$q$representa nuestro$\mathbb{R}$.

En el Formulaire de mathématiques se pueden leer más o menos las mismas cosas (en francés, por supuesto), en particular en el índice de la página 56 encontramos "$r$nombre rationnel".

De todos modos, Peano usó letras para conjuntos de números antes de 1895, ver Arithmetices principia, nova methodo exposita (1889), Signorum Tabula en la página 13 ("$Q$quantitas, sive numerus realis positivus", es decir, "$Q$[significa] cantidad, es decir, un número real positivo", mientras que$R$se usa para racionales positivos , ningún símbolo para los racionales, positivos o negativos).

Resumiendo: sí, Peano usa letras para denotar clases de números, pero no, su uso es diferente (en realidad, antitético) del moderno; además, las letras mayúsculas se utilizan para conjuntos de números positivos o negativos de algunos tipos, mientras que las letras minúsculas se utilizan para números positivos o negativos ($n$para$\mathbb{Z}$,$r$para$\mathbb{Q}$,$q$para$\mathbb{R}$[sic]).

Además, no puedo encontrar ninguna fuente independiente de Wikipedia sobre el uso de la letra$Q$del italiano "quoziente", y además, en italiano los elementos de$Q$se denominan "frazioni" (fracciones) o "numeri razionali" (números racionales, del latín "ratio"), mientras que "quoziente" es el resultado de una operación. La elección de letras hecha por Peano es transparente:$n$es para "numerus" (número entero, "numero" en italiano), "r" para "(numero) raciocinio" (número racional, pero también "rapporto" en italiano, ratio en inglés), "q" para "quantitas" (Italiano "quantità", inglés cantidad).

Ahora, algunas palabras sobre Bourbaki. Sí, "ellos" usa$Q$para números racionales, y no, no usan pizarra en negrita$\mathbb{Q}$(al menos en los periódicos de la década de 1940). Una ocurrencia temprana (quizás la primera impresa en papel) de$Q$para denotar el conjunto de números racionales está aquí en la página 3 del número 5 (7-10 de diciembre de 1940) de La Tribu , el boletín interno de Bourbaki. Leemos

$Q$est ordonné [...] Topología de$Q$[...] Finalización de$Q$: nombres carretes

así que no hay duda de que aquí$Q$se refiere a nuestro$\mathbb{Q}$. Claramente, encontramos$Q$para números racionales en el Algebre de 1942 (de la página 29).