Órbitas dentro de un campo −r⃗ −r→-\vec{r}

Lo que estás buscando es el teorema de Bertrand que establece que para el campo de fuerza central en$1/r^p$, solo$p=2$(campo newtoniano) y$p=-1$(campo armónico) dé una órbita cerrada cualesquiera que sean las condiciones iniciales (y suponiendo que esté limitado al campo).

Seguro que puedes encontrar algunas condiciones iniciales que dan órbitas cerradas (por ejemplo, todas$p\in[-1;2]$le dará órbitas circulares cerradas si tiene la velocidad inicial correcta en norma y dirección), pero$p=2$y$p=-1$son los únicos que funcionan para todas las condiciones iniciales. En estos casos, las curvas de cabina son elipses pero en caso$p=2$, el centro de fuerza está ubicado en uno de los puntos focales de la elipse mientras que para$p=-1$, se encuentra en el centro de la elipse.

Solo para mostrar lo que sucedería fuera de esos dos casos especiales, aquí hay una órbita calculada para un$1/r$campo ($p=1$) que es la que se experimenta al viajar alrededor de una galaxia espiral (y responsable de las llamadas curvas de rotación de galaxias ). En ese caso, no hay órbita cerrada.

Este enlace responde bien a la pregunta:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem#Radial_harmonic_oscillator

Evita algunas de las dificultades que de otro modo tendría con esta clase de problema al observar el potencial, que es una métrica del cuadrado del radio, que elimina la raíz cuadrada, que luego se puede aislar con cada variable.

$$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} kr^{2} = \frac{1}{2} k \left( x^{2} + y^{2} + z^{2}\right)$$

Resuelto, queda lo siguiente, omitiendo la componente z porque no la necesitamos.

$$x = A_{x} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{x} \right) \\ y = A_{y} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{y} \right)$$

¿Es esto una elipse? Una ecuación válida para una elipse es:

$$x = A \cos (\omega t) \\ y = B \sin (\omega t)$$

El tiempo de inicio es arbitrario, por lo que somos libres de agregar alguna constante a$t$hacer que estas dos cosas sean la misma curva, pero eso por sí solo no parece lograrlo. También necesita rotar el gráfico, pero eso agregará un grado más de libertad y probablemente le permitirá mostrar definitivamente que todas estas órbitas son elipses.

Aquí hay un gráfico de ejemplo.

Notarás que el centro de la elipse está en el origen, y este es el CM de la Tierra en nuestro problema. Eso difiere de las órbitas planetarias donde el CM está en un foco de la elipse. Obviamente, la velocidad al moverse alrededor de esta elipse también será diferente. Aquí (al igual que con las órbitas planetarias), será el más cercano al CM más rápido. Entonces, mientras que las órbitas altamente elípticas en el espacio vacío con las que estamos familiarizados siguen una especie de patrón swoop-swoop, este tipo de órbita sigue más un patrón swoop-swoop-swoop.