Obtenga el campo de fuerza del momento magnético dado y el campo de inductancia magnética numéricamente

Abstracto

Hace algún tiempo, alguien me dio la siguiente solución:

$$U=-\int \vec{m}\small{(x)}\times \vec{B}(x)dV$$ $$\vec{F}=-\nabla U$$

En otro sitio de pila , pregunté cómo resolverlo numéricamente, y un usuario señaló que las fórmulas son incorrectas porque$U$es un número, no un campo y, por lo tanto, no se le puede aplicar la operación de gradiente.

Seguramente sé que la fuerza es un gradiente negativo de energía potencial, por lo que la segunda fórmula es verdadera.

Además, el momento magnético multiplicado por la inductancia magnética da julios, es decir, energía potencial. Si solo multiplico$\vec{m}$en algún momento por$\vec{B}$en el mismo punto, tendré el valor de la energía potencial$U$en ese punto. ¿Cuál es el propósito de la integral de volumen, entonces, en la fórmula anterior?

Pregunta

Si tengo valores de momento magnético e inductancia magnética en cada punto del espacio, ¿cómo puedo encontrar una fuerza en cada punto del espacio?

mi intento

De acuerdo, la fuerza es un gradiente de energía potencial con signo menos, es seguro.

$$\vec{F}=-\nabla U$$

El momento magnético multiplicado por la inductancia magnética da algo en unidades de julios, es energía, seguro. La relación entre Fuerza, es decir, Newtons y Energía, es decir, Joules es

$$N=\dfrac{J}{m}$$

Newtons es igual a Joules por metro. El operador Nabla también da "metros" en el denominador:

$$\nabla=\dfrac{d\phi}{dx}+ \dfrac{d\phi}{dy}+ \dfrac{d\phi}{dz}$$

Como señalé en la pregunta que mencioné anteriormente, encontraré fuerza no en todos los puntos de algún volumen, porque es imposible, sino en puntos con algún paso. Por ejemplo, para el volumen 1m*1m*1m encontraré valores con pasos, digamos, 100 mm, es decir, 10 puntos seguidos, y$10^3$en total.

Habré conocido el momento magnético y el valor de la inductancia magnética para cada punto.

¿Qué pasa si encuentro energía en un punto como

$$U(x_0,y_0,z_0)= |\vec{m}\small{(x_0,y_0,z_0)}|* |\vec{B}(x_0,y_0,z_0)| * cos\theta$$

Y luego F como

$$\vec{F}(x_0,y_0,z_0)=\dfrac{U(x_0+k,y_0,z_0)-U(x_0,y_0,z_0)}{k}\vec{i}+ \dfrac{U(x_0,y_0+k,z_0)-U(x_0,y_0,z_0)}{k}\vec{j}+ \dfrac{U(x_0,y_0,z_0+k)-U(x_0,y_0,z_0)}{k}\vec{k}$$

Donde k es el paso, es decir, 0,1 m. Pero no dará un valor vectorial...