¿Fuerzas contradictorias en un bucle circular bajo corriente en un campo magnético?

Tengo la siguiente preocupación conceptual general.

Piense en una delgada espira conductora de radio R colocado en el X - y -avión en z = 0 . Hay una densidad de corriente homogénea. j → corriendo a través de este bucle:

j → ( r → ) = | j | d ( z ) d ( X 2 + y 2 − R 2 ) − y mi → X + X mi → y X 2 + y 2

Por definición, este bucle tiene un momento magnético de:

metro → = 1 2 ∫ d 3 r ( r → × j → ( r → ) ) = − | j | π R mi → z

Ahora, imagina que aparece un campo magnético que puede describirse localmente como:

B → = b 0 z mi → z

Si nos preguntamos cuál será la fuerza electromagnética sobre la espira, tenemos dos ecuaciones que nos pueden dar la respuesta. (Las dos respuestas deberían ser iguales, pero curiosamente no lo son). La primera ecuación es la definición directa de la fuerza de Lorentz:

F → 1 = ∫ d 3 r ( j → ( r → ) × B → )

Y la segunda ecuación hace uso del momento magnético (y también es exacta para este campo magnético simple):

F → 2 = ∇ ( metro → ⋅ B → )

Ahora es sencillo ver que la primera fuerza tiene la estructura F → 1 = A mi → X + B mi → y , mientras que la segunda fuerza debe verse claramente como F → 2 = C mi → z ≠ 0 (evidentemente distinto de cero debido a la falta de homogeneidad B → campo). Mi pregunta es: ¿qué salió mal y cómo solucionarlo?

Supongo que las expresiones para F → 1 y F → 2 asumir ∇ → ⋅ B → = 0 .
Sí, esto se supone de hecho para F → 2 . Pero esto es cierto en general, ya que no existen monopolos magnéticos. Así que tal vez la solución es: F → 1 es cierto sólo para un exacto B → campo, mientras F → 2 también es correcto para una aproximación local, ya que incorpora ∇ ⋅ B → ? Esto sonaría plausible.

Respuestas (2)

La formula F 2 se puede derivar para cuerpos que son lo suficientemente pequeños como para que una variación mayor que la de primer orden en B dentro del cuerpo tiene un impacto insignificante en la fuerza. Para cuerpos más grandes, no es válido, pero F1 sí.

Entonces, F1 es más general que F2, pero ninguno de ellos sirve para nada si usamos una función de campo magnético no físico como z mi z . El hecho de que den un resultado diferente significa que se rompe alguna suposición en la derivación en esta situación. Probablemente la divergencia cero de B es necesario para la derivación de F2.

La solución surgió en los comentarios, aquí hay una elaboración. Una de las ecuaciones de Maxwell es:

∇ ⋅ B → = 0

La descripción local de B → dado anteriormente claramente no satisface esto. Sin embargo, la ecuación definitoria de la fuerza de Lorentz F → 1 asume un campo magnético B → eso es válido no solo localmente, sino sobre todo el volumen del espacio. Por lo tanto, ecuación F → 1 no se puede aplicar aquí.

Por otro lado, la ecuación F → 2 se obtiene inicialmente involucrando una aproximación lineal local para un 'válido' arbitrario B → campo. La ecuación de Maxwell ∇ ⋅ B → = 0 también ya está incorporado en la expresión F → 2 . Por lo tanto, en este caso sólo F → 2 da el resultado correcto.

¿Entonces eliminaste mi solución de mi pregunta y la publicaste como respuesta? Supongo que esa es la forma correcta de llevar la contabilidad aquí, así que lo haré yo mismo la próxima vez. Gracias por la pista.
Si desea publicar su respuesta como respuesta, la eliminaré o la marcaré para su eliminación. Responder tu propia pregunta es perfectamente aceptable y es mejor que la respuesta venga de ti y no de mí.
> "definir la ecuación para la fuerza de Lorentz asume un campo magnético que es válido no solo localmente, sino en todo el volumen del espacio". El campo magnético dado no es válido en todas partes, debido al valor incorrecto de la divergencia. La fórmula 1 realmente no asume nada sobre la función del campo magnético en ella, excepto que la fórmula sea integrable para que la fuerza pueda relacionarse con B .
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