No puedo entender la derivación de la masa relativista en Kleppner

En el capítulo 13 de Kleppner y Kolenkow, derivan la expresión de la masa relativista al considerar una colisión elástica simétrica oblicua.

Se analizó a partir de dos marcos de referencia. Uno en el que la velocidad de A en la dirección x era cero y otro en el que la velocidad de B en la dirección x era cero.

Así es como va la derivación en el libro:

Nuestra tarea es encontrar una cantidad conservada análoga al momento clásico. Suponemos que el momento de una partícula que se mueve con velocidad$\mathbf{w}$es

$$\mathbf{p} = m(w) \mathbf{w}$$ dónde$m(w)$es una cantidad escalar aún por determinar, análoga a la masa newtoniana pero que podría depender de la velocidad$w$.

El momento x en el marco de A se debe por completo a la partícula B. Antes de la colisión, la velocidad de B es$w = \sqrt{V^2 + u_0^2/\gamma^2}$y después de la colisión es$w' = \sqrt{V^2 + u'^2/\gamma^2}$. La imposición de la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección x produce

$$m(w)V = m(w')V$$ Resulta que$w=w'$, de modo que $$u' = u_0$$ En otras palabras, el movimiento y se invierte en el cuadro A.

A continuación escribimos el enunciado de la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección y evaluada en el marco de A. Igualando el momento y antes y después de la colisión se obtiene

$$-m_0 u_0 + m(w) \frac{u_0}{\gamma} = m_0 u_0 - m(w) \frac{u_0}{\gamma}$$ lo que da $$m(w) = \gamma m_0$$ en el limite$u_0 \rightarrow 0$,$m(u_0) \rightarrow m(0)$, que tomamos como la masa newtoniana, o "masa en reposo"$m_0$, de la partícula. En este límite,$w = V$. Por eso $$m(V) = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$$ En consecuencia, la cantidad de movimiento se conserva en la colisión siempre que definamos la cantidad de movimiento de una partícula que se mueve con velocidad$\mathbf{v}$ser $$\mathbf{p} = m \mathbf{v}$$ dónde
$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma m_0$$

Ahora tengo algunos problemas con esta derivación. Ellos son:

1. Asumieron que tanto A como B tienen la misma masa. A menos que me equivoque, la ecuación de cantidad de movimiento en el$x$dirección debe permanecer sin cambios porque durante la colisión el impulso está en el$y$dirección. Así que supongamos que las masas fueran diferentes, a saber$m_A$y$m_B(w)$. Entonces desde $$m_B(w)V = m_B(w')V$$ resulta que $$u' = u_0$$ Pero entonces la ecuación y se convierte en $$-m_A u_0 + m_B(w) \frac{u_0}{\gamma} = m_0 u_0 - m_B(w) \frac{u_0}{\gamma}$$ o $$m_B(w) = \gamma m_A$$ lo cual es extraño porque la masa de B no debería depender de la de A. Personalmente, creo que su argumento a favor$u' = u_0$Es defectuoso. Porque no importa si las masas de A y B son diferentes, pero intuitivamente creo que debería. No veo cómo la colisión podría ser elástica y simétrica sin que las dos partículas tuvieran la misma masa. Porque siempre podría tomar casos extremos cuando uno es mucho más masivo que el otro y siguiendo su argumento todavía tendríamos$u' = u_0$. O tal vez entendí mal su argumento y las masas realmente importan. Todo esto es muy confuso para mí.
2. Parece que al escribir la ecuación de cantidad de movimiento en el$y$dirección, el autor representó$m(u_0)$como$m_0$mientras que en la ecuación final querían decir$m_0$ser la masa en reposo, lo cual tiene sentido porque A también se movía en la dirección y en el marco de A, por lo que su masa no puede ser solo la masa en reposo$m_0$. Sin embargo, antes de tomar el límite$u_0 \rightarrow 0$,$m(u_0) \rightarrow m(0)$, la ecuación para$m(w)$era $$m(w) = \frac{m(u_0)}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$$ y después de tomar el límite se convirtió en $$m(V) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$$ Sin embargo, se supone que ambas ecuaciones son verdaderas y usando el resultado final deberíamos tener $$m(w) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - w^2/c^2}}$$ y de manera similar para A en el marco de A, $$m(u_0) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - u_0^2/c^2}}$$ Sustituyendo esto en la primera ecuación $$m(w) = \frac{m(u_0)}{\sqrt{1 - V^2/c^2}}$$ $$= \frac{m_0}{\sqrt{(1 - V^2/c^2)(1 - u_0^2/c^2)}}$$ $$= \frac{m_0}{\sqrt{1 - (u_0^2/c^2 + V^2/c^2) + (Vu_0)^2/c^4}}$$ $$= \frac{m_0}{\sqrt{1 - w^2/c^2 + (Vu_0)^2/c^4}}$$ $$\neq \frac{m_0}{\sqrt{1 - w^2/c^2}}$$ Probablemente me estoy perdiendo algo, pero no puedo entender qué.