No puedo descifrar la fórmula general para el circuito eléctrico.

De hecho, este es un problema clásico en las instalaciones eléctricas, es decir, sabiendo el consumo de energía de varios dispositivos conectados a una línea eléctrica, ¿cuál es la caída de voltaje en el dispositivo más lejano? Normalmente se resuelve mediante una aproximación, por lo que no da el valor exacto, sino más bien cercano (y pesimista).

Dibujaré el problema de otra manera, diagrama unipolar:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

(R1+R2) representan la resistencia de los dos cables (L y N) en la primera sección, P1 es la potencia consumida por el primer dispositivo, etc.

Delta_V es la caída de voltaje en el último dispositivo.

La aproximación es que la caída de voltaje será pequeña y, por lo tanto, la corriente en cada dispositivo se puede aproximar mediante:

$$i_k=P_k/V$$ donde $V$es el voltaje nominal (su $V_0$). De hecho, el voltaje será un poco más pequeño que esto y, por lo tanto, la corriente real también. (Editar: esto merece una explicación: una bombilla de 100 W si se alimenta con menos voltaje que el nominal, consumirá menos corriente que la nominal. Si fuera una bombilla "inteligente", obtendría más corriente para mantener los 100 W, pero no es el caso de los dispositivos pasivos normales).

Entonces la caída de tensión al final de la línea está dada por:

$$\Delta V=(R_1+R_2)·(i_1+i_2+i_3)+(R_3+R_4)·(i_2+i_3)+(R_5+R_6)·i_3$$

Esto se puede generalizar para tantos dispositivos como quieras. La idea es que las corrientes de todos los aparatos pasen por el primer tramo (por eso hay$i_1+i_2+i_3$multiplicando la resistencia del primer tramo), en el segundo tramo todos menos el primer aparato, etc.

El valor encontrado por esta fórmula es el peor de los casos. La caída real será menor.

Si desea ser exacto, puede seguir este procedimiento iterativo:

1. Calcule las caídas de voltaje en cada nodo y no solo en el último (es fácil averiguar cómo)

2. Estime nuevamente las corrientes en cada dispositivo utilizando la información proporcionada por las caídas de voltaje encontradas en el paso anterior.

3. Vaya nuevamente al paso 1 y repita hasta que las corrientes y las caídas de voltaje converjan.

Esos pasos pueden escribirse en forma matricial y evaluarse a través de Matlab. ¡No sé si Mathematica o Maple también podrían encontrar una solución de forma cerrada!

He probado este algoritmo con los siguientes valores. P1=200 W, P2=50 W y P3=100 W. Valores de resistencia R1+R2=5 ohmios, R3+R4=5 ohmios y R5+R6=5 ohmios. El voltaje nominal es de 230 V. Esos son los resultados (cada columna es una iteración y cada fila es un nodo):

Puede ver que después de algunas iteraciones, los voltajes y las corrientes convergen, y la potencia consumida en cada nodo tiene el valor deseado.

¿Por qué estás asumiendo que$P_3$es una resistencia? Todo lo que sabes es que es su poder de consumo. Lo que tiene aquí son dos incógnitas: la corriente en el bucle y el voltaje a través$P_3$. Para resolver este problema, necesitará dos ecuaciones: una ecuación KVL para el bucle y una ecuación de potencia para$P_3$. Suponiendo que la corriente fluye en el sentido de las agujas del reloj:

$$V_0 - IR_1 - V_{P3} - IR_2 = 0$$ $$P_{P3} = V_{P3}I$$

Puede resolver esto directamente usando un sistema de álgebra computarizado como el de una TI-89 o el libre de Wolfram Alpha , o puede usar métodos matriciales, o puede usar sustitución. La sustitución te da la ecuación que encontraste:

$$V_0 - IR_1 - IR_2 - \frac{P_{P3}}{I} = 0$$

Hay dos posibles soluciones ya que la segunda ecuación es un producto de dos variables. Sin embargo, no obtienes una solución negativa. Probé varios números inventados para$V_0$y$P_3$y siempre obtuve soluciones positivas. Como la ecuación de potencia es de la forma$y = \frac{1}{x}$, creo que ambas soluciones siempre serán positivas. (Esto es más obvio en el resultado del gráfico de Wolfram Alpha). Físicamente, esto significa que puede obedecer a KVL y la conservación de la energía con una solución de alto voltaje/baja corriente y baja tensión/alta corriente. Si elige exactamente los valores correctos de$V_0$,$R_1$,$R_2$, y$P_3$puede obtener una solución única, pero eso es una coincidencia, no un método.

Necesita una restricción adicional para llegar a una solución. No veo uno físicamente necesario, aunque podría estar perdiéndome algo. Una opción sería decir que$P_3$debe ser mayor que la potencia consumida por las resistencias, es decir, que este circuito sea eficiente . Su descripción del problema sugiere que podría haber un voltaje mínimo requerido, que también podría funcionar.

Una vez que haya resuelto el problema de un solo disipador de energía, puede pasar a dos. Ahora puede usar el análisis de malla, que da cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas. Como habrás notado, esto es demasiado complicado para una solución general. Esto parece un problema de red de dos puertos, pero no conozco suficiente teoría de redes de dos puertos para ayudarlo.

Puede obtener un límite superior aproximado observando el límite de corriente final:

$$\sum{P_n} < \frac{V_0}{R_1 + R_2}$$

¿Estás seguro de que nos has dado toda la información? Parece que falta algo importante.

No digo que pueda darte una respuesta, pero puedo simplificar un poco las cosas: -

Para comenzar, llame a las dos series de resistencias de valor fijo solo una resistencia, R. Esto reduce la complejidad aparente sin pérdida de precisión. Llame a la resistencia de la fuente de potencia constante Rp

$I = \dfrac{V_I}{R+R_P}$Luego introduce la potencia disipada, k =$\dfrac{V_O^2}{R_P}$o$R_P = \dfrac{V_O^2}{k}$.

Vuelva a conectar la ecuación y multiplique arriba y abajo por k para obtener$I = \dfrac{k\cdot V_I}{k\cdot R + V_O^2}$

Señalando que$k = V_O \cdot I$y reordenando: -

$V_O\cdot I^2\cdot R+ I\cdot V_O^2 = V_I\cdot V_O\cdot I$luego divide por I para obtener$V_O\cdot I\cdot R+ V_O^2 = V_I\cdot V_O$

Vuelva a sustituir por k para obtener: -

$k\cdot R+ V_O^2 = V_I\cdot V_O$y luego resolver para Vo: -

$V_O = \dfrac{V_I \pm \sqrt{V_I^2-4\cdot k\cdot R}}{2}$

Una verificación rápida de cordura para cuando k es cero conduce a: -

$V_O = \dfrac{V_I \pm \sqrt{V_I^2}}{2}$y esto me parece correcto (Vo = Vi).

Creo que esta es una fórmula más fácil para seguir adelante (¡espero haber entendido bien las matemáticas!)

A continuación, tengo la sensación de que el uso de matrices ayudará a las redes de 2 puertos. Todavía se volverá un poco loco después de algunos términos, así que espero que alguien pueda encontrar un truco.

Me pregunto si la fórmula de la proporción áurea podría funcionar.

Existe una fórmula general que "se conecta" a la anterior, pero debido a cómo está configurado su circuito, no se conecta de una manera "agradable".

En primer lugar, realmente no entiendo lo que intenta decir con la fórmula para R3 que proporcionó. También es válido para las otras resistencias en su esquema, porque:

R = U / I
and
P = U * I or U = P / I
together
R = P / I²

También dices que "produce vatios", lo cual es un poco extraño. Lo que creo que tienes es algo así como una bombilla, con una determinada potencia nominal en vatios. Esa calificación no significa que "produce" tantos vatios, simplemente indica cuánta energía consumirá este dispositivo. Los dispositivos necesitan cierto voltaje para funcionar: 24V, 12V, 230V o 120V. La clasificación de vatios no le dice este número. Es una información adicional. Debe haber una etiqueta en el dispositivo que le indique el voltaje.

Por extraño que parezca, está presentando una fórmula que calcula una corriente.

Así es como llega a la fórmula: con un solo dispositivo, tiene un divisor de voltaje simple.

V3 / V0 = R3 / (R1 + R2)
or
V3 = R3 / (R1 + R2) * V0

Tenga en cuenta que R1 + R2 son muy pequeños, por lo que el voltaje V3 no será muy diferente a V0. R1 y R2 son probablemente despreciables.

Yo uso el operador paralelo || para abreviar las cosas:

a||b = a * b / (a + b)

Ahora agregue el segundo dispositivo. El divisor de voltaje cambia, agrega 3 resistencias adicionales al circuito: R4, R5 y R6. Más específicamente, los agrega en paralelo a R3. Básicamente hablando, siempre agrega las 3 resistencias en paralelo a la segunda resistencia de las resistencias agregadas anteriormente.

Aquí es donde se "enchufa" el siguiente dispositivo:

V3 = R3 || (R4 + R5 + R6) / (R1 + R2) * V0

Lo interesante es cómo puedes calcular V6 fácilmente ahora. Si ahora piensa en V3 como el voltaje suministrado, el circuito del segundo dispositivo se comporta como el primero con respecto a V3 (en lugar de V0)

V6 / V3 = R6 / (R4 + R5)
or
V6 = R6 / (R4 + R5) * V3
or, inserting the formula for V3 from above:
V6 = R6 / (R4 + R5) * R3 || (R4 + R5 + R6) / (R1 + R2) * V0

Estas fórmulas combinan circuitos en serie y en paralelo anidados entre sí. Esto hace que sea difícil proporcionar una fórmula cerrada para muchos dispositivos arbitrarios.

Para ilustrar, tomemos lo anterior y veamos cómo se expande un tercer dispositivo, las fórmulas:

El tercer dispositivo agregará 3 resistencias nuevamente, en paralelo a R6. Esto cambia V3 de la siguiente manera:

V3 = R3 || (R4 + R5 + (R6 || (R7 + R8 + R9) ) / (R1 + R2) * V0

que a su vez cambia V6 a:

V6 = R6 / (R4 + R5) * R3 || (R4 + R5 + (R6 || (R7 + R8 + R9) ) / (R1 + R2) * V0

El voltaje del nuevo dispositivo con respecto al anterior es nuevamente un simple divisor de voltaje:

V9 / V6 = R9 / (R7 + R8)
or
V9 = R9 / (R7 + R8) * V6

Espero que vea surgir el patrón que estaba pidiendo.

Y ahora algo completamente diferente: la vida real.

Los cables tienen una resistencia muy baja. Insignificantemente bajo. Los cables no harán que el voltaje baje demasiado en sus dispositivos. Probablemente esté seguro de asumir que el voltaje es más o menos el mismo.

Su pregunta es qué limita la cantidad de dispositivos que puede encadenar. La respuesta es la fuente de alimentación . Cada dispositivo que agrega se suma a la corriente que se extrae del suministro y solo puede entregar una cierta cantidad.

Las matemáticas son muy fáciles aquí: no puede usar más vatios que los suministros de su suministro. Sume todos los vatios de sus dispositivos y vea si su suministro puede entregar tanto (si hace más, no hay problema). No hay forma de evitar esto.