Movimiento en un campo magnético uniforme dependiente del tiempo

Suponga que tiene un solenoide infinito que genera un campo magnético uniforme en su interior. El campo está orientado a lo largo del eje del solenoide: vector unitario$\vec{\bf n}$. La intensidad del campo varía linealmente con el tiempo entre$t_1$y$t_2 = t_1 + \Delta t$, así (despreciamos todas las ondas electromagnéticas aquí):

$$\begin{equation}\tag{1} B(t) = B_1 + \lambda \, (B_2 - B_1)(t - t_1), \end{equation}$$ dónde $B_1$es el campo magnético constante para el tiempo $t < t_1$, $B_2$es el campo magnético constante para el tiempo $t > t_2 = t_1 + \Delta t$, y $\lambda = 1/\Delta t$. La variación temporal de este campo genera un campo eléctrico inducido en el interior del solenoide, por el mismo intervalo de tiempo (desde $t_1$a $t_2$) : $$\begin{equation}\tag{2} \vec{\bf E} = -\, \frac{1}{2} \; \lambda \; \Delta B \; \vec{\bf n} \times \vec{\bf r}, \end{equation}$$ dónde $\Delta B = B_2 - B_1 > 0$es una constante simple (el campo magnético está aumentando en el solenoide). Tenga en cuenta que el vector unitario $\vec{\bf n}$también es una constante (el eje del solenoide).

Ahora, deja caer una partícula de carga positiva dentro del solenoide:$q > 0$, con cualquier posición y velocidad inicial. La ecuación del movimiento es esta:

$$\begin{equation}\tag{3} \frac{d \vec{\bf p}}{d t} = q \, \vec{\bf E} + q \, \vec{\bf v} \times \vec{\bf B}, \end{equation}$$ dónde $\vec{\bf p} = \gamma \, m \, \vec{\bf v}$es el momento lineal relativista de la partícula. No estoy interesado en resolver analíticamente esta ecuación (lo he hecho numéricamente usando Mathematica . ¡Las curvas 3D son bonitas!). Ahora bien, el problema es este:

¿Cómo podemos encontrar analíticamente la energía final en el tiempo?$t > t_2$, en función de las intensidades de campo$B_1$,$B_2$y la velocidad inicial (o energía) en el tiempo$t < t_1$?

Sé que hay al menos una constante exacta de movimiento para este problema:

$$\begin{align} \mathcal{J} &= \vec{\bf n} \cdot \big( \vec{\bf r} \times (\vec{\bf p} + q \, \vec{\bf A}) \big), \\[18pt] &= \vec{\bf n} \cdot \big( \vec{\bf r} \times \gamma \, m \, \vec{\bf v} + \frac{q}{2} \; B(t) \, \vec{\bf r} \times (\vec{\bf n} \times \vec{\bf r})\big), \tag{4} \end{align}$$ dónde $\vec{\bf A}$es el vector potencial: $$\begin{equation}\tag{5} \vec{\bf A} = \frac{1}{2} \; B(t) \, \vec{\bf n} \times \vec{\bf r}. \end{equation}$$

También podríamos intentar usar el teorema de la energía cinética (el campo magnético no realiza ningún trabajo):

$$\begin{align} \Delta K = W_{\text{em}} &= \int_{t_1}^{t_2} q \, \vec{\bf E} \cdot \vec{\bf v} \; dt \\[18pt] &\equiv -\, \frac{q}{2} \; \lambda \, \Delta B \int_{t_1}^{t_2} \vec{\bf n} \cdot (\vec{\bf r} \times \vec{\bf v}) \, dt, \tag{6} \end{align}$$ pero desafortunadamente no está ayudando ya que no sé cómo evaluar esta integral (tenga en cuenta que el vector $\vec{\bf r} \times \vec{\bf v}$no se conserva aquí, y no es exactamente el momento angular de la partícula ya que la teoría relativista $\gamma$falta el factor). Sin embargo, reconocemos la integral temporal del momento magnético de la partícula $\vec{\boldsymbol{\mu}}(t)$: $$\begin{equation}\tag{7} \vec{\boldsymbol{\mu}}(t) = \frac{q}{2} \; \vec{\bf r}(t) \times \vec{\bf v}(t), \end{equation}$$ entonces podríamos escribir la siguiente variación de energía cinética, pero no ayuda mucho: $$\begin{equation}\tag{8} \Delta K = -\, \langle \, \vec{\boldsymbol{\mu}} \, \rangle \cdot \Delta \vec{\bf B}. \end{equation}$$ La constante de movimiento $\mathcal{J}$no es de ninguna ayuda en este caso, incluso si el movimiento está restringido al plano ortogonal a $\vec{\bf n}$(es decir, movimiento en la sección transversal del solenoide).

Cualquier sugerencia para encontrar la variación de la energía cinética.$\Delta K$?

También sospecho que puede haber otra cantidad conservada exacta para este problema (¿energía total? ¿flujo magnético total en la trayectoria de la partícula?). ¿Cuál puede ser la otra cantidad conservada?

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Aquí hay una trayectoria típica en el plano ortogonal del solenoide:

Una imagen en el avión http://s10.postimg.org/87h0m0849/motion.jpg[/img]

El círculo grande es el movimiento inicial en el tiempo$t < t_1$(movimiento circular clásico, de radio$r_1 = \gamma_1 \, m \, v_1/ q \, B_1$). El pequeño círculo interior es el movimiento final en el momento$t > t_2$(otro movimiento circular clásico alrededor de las líneas finales del campo magnético, de radio$r_2 = \gamma_2 \, m \, v_2/ q \, B_2$). El camino entre ambos círculos es el efecto del campo magnético variable en el tiempo y del campo eléctrico inducido (que acelera la partícula:$v_2 > v_1$). Necesito encontrar analíticamente la variación de energía del círculo grande al más pequeño, para obtener el radio final.$r_2$(ya que no conocemos el momento lineal final$p_2 = \gamma_2 \, m \, v_2$).

Aquí hay otra imagen para mostrar algunas trayectorias típicas en 3D. La deriva hacia el centro se produce durante la transición.$B_1 \Rightarrow B_2 > B_1$:

Una imagen en 3D http://s11.postimg.org/yarbwa0ab/induction2.jpg[/img]

La deriva es causada por el campo eléctrico inducido, que empuja las partículas con una velocidad de deriva local. $\vec{\bf v}_d = \vec{\bf E} \times \vec{\bf B}/B^2$.

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Complementar :

Esto puede ser interesante. Si consideramos el movimiento no relativista solo en un plano (ortogonal a las líneas del campo magnético), usando coordenadas polares obtenemos la siguiente ecuación diferencial radial :

$$\begin{equation} \ddot{\rho} + \omega^2 \, \rho = \frac{\mathcal{J}^2}{\rho^3}, \end{equation}$$ dónde $\mathcal{J}$es la constante de movimiento definida arriba (por unidad de masa) y $\omega = q B(t)/2m$es la frecuencia angular de Larmor. Esta diferencia ecuación es difícil de resolver, especialmente porque $\omega$depende de $t$. La parte angular viene dada por esta ecuación: $$\begin{equation} \dot{\vartheta} = \frac{\mathcal{J}}{\rho^2} - \omega. \end{equation}$$