Modos normales para ondas estacionarias en conductos acústicos 1-D con saltos de impedancia arbitrarios (pero reales)

Entonces nadie respondió esta pregunta, así que finalmente seguí adelante y la resolví en caso de que alguien tenga curiosidad al respecto. Si hay algún error, por favor hágamelo saber. Además, copié/pegué esto de mi propio documento de Latex, por lo que es posible que me haya perdido parte de la traducción a MathJax.

En el caso más general, las impedancias de terminación en cada extremo del conducto de la Fig. 1 son complejas. Esto se debe al hecho de que, en la situación más general, se formarán ondas estacionarias dentro del conducto a la izquierda de 1 y a la derecha de 2.

Hay situaciones en las que es posible que no haya ondas estacionarias después de la interfaz, lo que haría que la impedancia fuera real. Estas situaciones pueden ocurrir en escenarios prácticos donde las perturbaciones salen a la atmósfera abierta o terminan en una pared rígida sin pérdidas, o si la longitud de la tubería aguas abajo de la interfaz es tan larga que las pérdidas viscosas atenúan la señal reflejada hasta tal punto que es insignificante. en comparación con la onda incidente en el momento en que la onda regresa a la interfaz ($Z_1$o$Z_2$).

Para estudiar el caso más general, supongamos que$Z_1$y$Z_2$son complejos. Además, supongamos nuevamente que las ondas son armónicas temporales y están dadas por

$$p'(x,t) = P(x)e^{i\omega t} = \Big[Ae^{-ikx} + Be^{ikx}\Big]e^{i\omega t}$$

$$u'(x,t) = U(x)e^{i\omega t} = \frac{1}{Z_0}\Big[Ae^{-ikx} - Be^{ikx}\Big]e^{i\omega t}$$

Dado que estamos permitiendo que las impedancias sean cualquier valor complejo arbitrario, resulta que es relativamente inútil tratar de resolver los coeficientes directamente. Hacer esto crea ecuaciones excesivamente complicadas que no revelan nada útil sobre los modos dominantes dentro de la tubería. Resulta mucho más revelador estudiar el proceso a través de condiciones de contorno apropiadas. Podemos llegar a una condición de contorno muy general observando la ecuación de cantidad de movimiento linealizada dada por

$$\frac{\partial u'}{\partial t} + \frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial x} = 0$$

Reemplazando las ecuaciones de presión y velocidad en la ecuación de cantidad de movimiento y observando que$\frac{p'(x,t)}{u'(x,t)} = z(x)$, dónde$z(x)$es la impedancia mecánica, obtenemos

$$\nonumber i\omega \rho_0 P(x) + z(x)\frac{dP}{dx} = 0$$

Señalando que$\omega = c_0k$y$z_0 = \rho_0 c_0$, y dividiendo por el área A(x), obtenemos

$$ik\frac{z_0}{A(x)}P(x) + \frac{z(x)}{A(x)}\frac{dP}{dx} = 0$$

Aquí$z_0$es la impedancia acústica específica de la tubería. Es importante tener en cuenta que esta es una cantidad de valor real . Finalmente, notando que la impedancia acústica está dada por$Z_i = \frac{z_i}{A(x)}$, tenemos

$$ikZ_0P(x) + Z(x)\frac{dP}{dx} = 0$$

Este es un BC general y se puede aplicar a cualquier punto dentro de la tubería, pero es importante tener en cuenta que el área puede cambiar, por lo tanto, la correcta$A(x)$se debe usar el valor. Aplicando este BC a$x = 0$, obtenemos

$$ikZ_0\big[A + B\big] + Z_1\big[-ikA + ikB\big] = 0$$

Agrupando todos los términos, llegamos a nuestro primer BC

$$\Big(1 - \frac{Z_1}{Z_0}\Big)A + \Big(1 + \frac{Z_1}{Z_0}\Big)B = 0$$

Aplicando el BC a$x = L$, obtenemos

$$Ae^{-ikL} + Be^{ikl} + \frac{Z_2}{Z_0}\Big[-Ae^{-ikL} + Be^{ikL}\Big] = 0$$

Finalmente, agrupando todos los términos, llegamos a nuestro último BC

$$\Big(1 - \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{-ikL}A + \Big(1 + \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{ikL}B = 0$$

Estos se pueden poner en forma de matriz para obtener

$$\begin{bmatrix} &\Big(1 - \frac{Z_1}{Z_0}\Big) &\Big(1 + \frac{Z_1}{Z_0}\Big) \\ &\Big(1 - \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{-ikL} &\Big(1 + \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{ikL} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &A& \\ &B& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &0& \\ &0& \end{bmatrix}$$

Los coeficientes A y B solo tienen solución no trivial cuando el determinante de la matriz es cero

$$\begin{vmatrix} &\Big(1 - \frac{Z_1}{Z_0}\Big) &\Big(1 + \frac{Z_1}{Z_0}\Big) \\ &\Big(1 - \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{-ikL} &\Big(1 + \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{ikL} \\ \end{vmatrix} = 0$$

Resolviendo para el determinante obtenemos

$$\Big(1-\frac{Z_1}{Z_0}\Big)\Big(1+\frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{ikL} - \Big(1-\frac{Z_2}{Z_0}\Big)\Big(1 + \frac{Z_1}{Z_0}\Big)e^{-iKL} = 0$$

Definiendo los coeficientes de reflexión como

$$R_1 \equiv \frac{\frac{Z_1}{Z_0} - 1}{\frac{Z_1}{Z_0} + 1}$$

$$R_2 \equiv \frac{\frac{Z_2}{Z_0} - 1}{\frac{Z_2}{Z_0} + 1}$$

Finalmente llegamos a la condición.

$$e^{i2kL} = \frac{R_2}{R_1}$$

Los coeficientes de reflexión definidos aquí son la reflexión que vería la onda dentro de la tubería al acercarse a cualquiera de las interfaces. Debido al hecho de que$Z_1$y$Z_2$son, en general, complejos, entonces podemos esperar$R_1$y$R_2$también ser complejo, por lo que la condición se vuelve

$$e^{i2kL} = \frac{|R_2|}{|R_1|}e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$$

Antes de saltar al caso más general, echemos un vistazo a un par de casos límite:

1. Reflexión igual con orientación positiva

en el caso de que$\frac{R_2}{R_1} = 1$, la onda vería exactamente el mismo reflejo en cualquier interfaz, por lo que debemos tener$Z_1 = Z_2$. El caso muy límite en el que tenemos límites abierto-abierto o cerrado-cerrado es un subconjunto de esta clase de condiciones de contorno. Es claro que esta condición sólo se cumple cuando

$$\sin{kL} = 0$$

Lo que significa que

$$kL = n\pi$$

Donde n = 1,2,3,... Siempre que las impedancias sean las mismas (no tiene que ser abierto-abierto o cerrado-cerrado), siempre tendremos$\frac{\lambda}{2}$modos.

2. Reflexión igual con orientación negativa

en el caso de que$\frac{R_2}{R_1} = -1$, la onda vería exactamente la misma magnitud de reflexión en cada extremo, pero su signo sería opuesto al del otro extremo de la tubería. Para el caso de impedancias reales, eso significa$\frac{Z_i}{Z_0} < 1$en una de las interfaces y$\frac{Z_i}{Z_0} > 1$en el otro. Esto significa que

$$e^{i2kL} = -1$$

Tomando el logaritmo complejo de cada lado y observando la periodicidad de la exponencial compleja, tenemos

$$i2\Big[kL - n\pi] = \ln{1} + i\pi$$

donde usamos la identidad que$\ln{(-a)} = \ln{(a)} + i\pi$. Resolviendo para$kL$, obtenemos

$$kL = \frac{\pi}{2}(2n + 1)$$

Dónde$n = \pm 1,2,3,...$. O más simplemente

$$kL = m\frac{\pi}{2}$$

Dónde$m = \pm 1,3,5,...$. Este es un caso límite realmente interesante porque podemos obtener información valiosa sobre el problema sin resolver los coeficientes. si establecemos$R2 = - R1$, obtenemos

$$(\frac{Z_2}{Z_0} - 1)(\frac{Z_1}{Z_0} + 1) = -(\frac{Z_1}{Z_0} - 1)(\frac{Z_2}{Z_0} + 1)$$

Y resolviendo esto, llegamos al requisito de que$Z_1Z_2 = Z_0^2$. Desde$Z_0 = \frac{\rho_0 c_0}{A}$es un parámetro de valor real, entonces esta ecuación solo se cumplirá si$Z_1 = Z_2*$. Así podemos escribir

$$Z_0 = \sqrt[]{|Z_1||Z_2|}$$

Esto significa que mientras la impedancia de la tubería,$Z_0 = \frac{\rho_0 c_0}{A}$, es la media geométrica de las impedancias terminales, siempre tendremos$\frac{\lambda}{4}$modos! Además, si las propiedades del fluido (es decir, la densidad y la velocidad del sonido) son las mismas y el área dentro de la tubería es constante, entonces tendremos modos de un cuarto de longitud de onda cuando el área de la tubería sea la media geométrica de las áreas de las tuberías. aguas arriba y aguas abajo de la misma.

$$A_0 = \sqrt[]{A_1A_2}$$

3. Fase constante

Si por el contrario tenemos$\theta_2 = \theta_1$, entonces la condición se convierte en

$$e^{2ikL} = \frac{|R_2|}{|R_1|}$$

Tomando el logaritmo complejo de ambos lados, obtenemos

$$2i\Big[kL - n\pi\Big] = \ln{\Bigg(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Bigg)}$$

Y podemos resolver el número de onda para obtener

$$kL = n\pi - i\frac{1}{2}\ln{\Bigg(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Bigg)}$$

Dónde$n = 0,\pm[1,2,3,...]$. Pero, ¿qué significa físicamente un número de onda complejo? Volvamos a conectarlo a la ecuación armónica de tiempo. para averiguarlo (para n = 1). La componente x de la ecuación de presión da

$$P(x) = \Bigg[\Big(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Big)^{\frac{-x}{2L}}A\Bigg]e^{-i\frac{\pi}{L}x} + \Bigg[\Big(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Big)^{\frac{x}{2L}}B\Bigg]e^{i\frac{\pi}{L}x}$$

Está claro que la contribución de la relación de magnitud es simplemente afectar la amplitud de la onda incidente y reflejada para que cumpla con las condiciones de contorno, y que no proporcione ninguna contribución a la frecuencia de oscilación . El componente de tiempo del número de onda da

$$e^{i\omega t} = \Bigg[\Big(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Big)^{\frac{ct}{2L}}\Bigg]e^{i\frac{\pi c}{L}t}$$

Está claro que$\frac{|R_2|}{|R_1|}$es un factor de "amortiguación". Esto tiene sentido físico. Dado que estamos viendo movimiento libre (es decir, no armónicos forzados), a menos que$|R_2| = |R_1| = 1$, una parte de la onda se transmitirá a través de la interfaz y se llevará la energía consigo. Por lo tanto, debemos esperar que la ola se apague como$t \rightarrow \infty$. Esto es cierto mientras$\frac{|R_2|}{|R_1|} < 1$, pero si$\frac{|R_2|}{|R_1|} > 1$, entonces$p'(x,t) \rightarrow \infty$como$t \rightarrow \infty$.

En resumen, si la diferencia de fase es igual, entonces siempre tendremos$\frac{\lambda}{2}$modos independientemente de la relación de magnitud de los coeficientes de reflexión. El único papel que tienen es proporcionar un cambio de amplitud.

4. $\pi$Diferencia de fase

Si$\theta_2 = \theta_1 + \pi$, entonces nosotros tenemos

$$e^{2ikL} = -\frac{|R_2|}{|R_1|}$$

Esto se puede resolver de manera similar para obtener

$$kL = n\frac{\pi}{2} - i\frac{1}{2}\ln{\Bigg(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Bigg)}$$

Dónde$n = 0,\pm[1, 3, 5, ...]$. Esto significa que mientras la diferencia de fase esté desfasada por un factor de$\pi$, entonces los modos resonantes siempre serán$\frac{\lambda}{4}$modos independientemente de la diferencia de magnitud.

5. Caso general

La condición más general es que

$$2i\Big[kL - n\pi\Big] = i(\theta_2 - \theta_1) + \ln{\Bigg(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Bigg)}$$

Por lo tanto, el número de onda debe ser

$$kL = n\pi + \frac{1}{2}(\theta_2 - \theta_1) - i\frac{1}{2}\ln{\Bigg(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Bigg)}$$

Dónde$n = 0,\pm[1, 2, 3, ...]$.

Como se discutió anteriormente, el único componente que afecta la frecuencia de oscilación es la diferencia de fase entre los dos reflejos interfaciales. Si son muy pequeños,$\frac{\theta_2}{\theta_1} \sim 1$, entonces simplemente tendremos modos de media longitud de onda. Lo realmente interesante de estos resultados es que solo dependen de los límites, y no de lo que sucede dentro de la tubería, siempre que el fluido sea homogéneo (es decir, el número de onda permanezca igual).

Me temo que llegaste a una respuesta incorrecta en tu derivación. La impedancia BC en un sistema acústico no es p' = Zu, pero es:

$$p'=Z\times(\vec{u}.\vec{n})$$ La diferencia parece inocua hasta que aplica el BC tanto para la entrada como para la salida, donde cambia la dirección del vector normal. Entonces, en la entrada, dado que la dirección del vector normal de la superficie reflectante y la dirección de la velocidad positiva son las mismas, el BC es como escribiste: $$[A+B]=\frac{Z_1}{Z_0}[A-B]$$ Pero en la salida, dado que la dirección de la superficie reflectante y la velocidad acústica están en direcciones opuestas, la salida BC es en realidad: $$[Ae^{-ikL}+Be^{ikL}]=-\frac{Z_2}{Z_0}[Ae^{-ikL}-Be^{ikL}]$$ Entonces la ecuación reducida se convierte en: $$\boxed{e^{2ikL}=R_1R_2}$$ $$\\$$ Permítanme ilustrar un problema con su solución. Comparemos 2 casos: $$(R_1=0.5, R_2=1) \quad vs.\quad (R_1=1, R_2=0.5)$$ Sus soluciones para los dos casos serán diferentes ya que: $$\frac{R_1}{R_2} \ne \frac{R_2}{R_1}$$ mientras que sabemos que este es un problema simétrico y cambiar del caso 1 al caso 2 no debería tener impacto en la frecuencia propia de este dominio.