Medición de la desalineación entre dos posiciones en el cielo

Suponiendo que te refieres al ángulo entre la línea meridiana que pasa por A y el gran círculo que pasa por los puntos A y B, entonces es algo así.

Defina los vectores desde el origen hasta A y B suponiendo que se encuentran en una esfera unitaria, tal que$x_A= \cos \delta_A \cos \phi_A$,$y_A = \cos \delta_A \sin \phi_A$y$z_A= \sin \delta_A$, y similar para B. Aquí$\phi$se refiere a la ascensión recta y$\delta$es declinación.

Los grandes círculos en cuestión definen planos que pasan por el origen. Una normal al plano definido por OAB viene dada por el producto vectorial$\vec{n_1}=\vec{A}\times \vec{B}$. De manera similar, un gran círculo que pasa por O, A y NCP$(0, 0, 1)$tiene una normalidad de$\vec{n_2}= \vec{A}\times (0,0,1) = (y_A, -x_A, 0)$.

El ángulo que está buscando es el ángulo entre estos dos vectores normales, que se pueden encontrar a partir del producto escalar de la forma habitual.

$$\cos \theta = \frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{|n_1||n_2|}=\frac{\cos \phi_{A}(y_{A}z_{B} - y_{B}z_A) + \sin \phi_{A}(x_Az_B - x_Bz_A)}{|\vec{A}\times \vec{B}|}$$

El ángulo de posición P de un cuerpo ($\alpha_1, \delta_1$) con respecto a otro cuerpo ($\alpha_2, \delta_2$) se puede calcular a partir de

$$tan(P)={sin(\Delta\alpha)\over cos(\delta_2)tan(\delta_1)-sin(\delta_2)cos(\Delta\alpha)}$$ donde $\Delta\alpha = \alpha_1-\alpha_2$. Si el denominador es negativo, el ángulo de posición se encuentra en el rango de 90 a 270 grados.

Referencia: Jean Meeus, Algoritmos astronómicos, segunda edición,

En primer lugar, debe tenerse en cuenta que el ángulo de posición no se define simplemente por "dos posiciones". El punto de partida es distinto del punto final, lo que resulta en una diferencia de$180^\circ$, dependiendo de cuál sea primero.

Las respuestas anteriores fueron buenas, solo quiero ofrecer una perspectiva/derivación diferente. Una forma de definir el ángulo de posición es que es el ángulo desde el norte en sentido contrario a las agujas del reloj hasta la dirección en cuestión, medido en una proyección ortográfica que tiene su punto de partida como origen (asumiendo el estándar astronómico de "Norte arriba, Este izquierda"). .

El álgebra detrás de las palabras comienza definiendo el vector unitario/coordenadas que definen el punto de inicio:

$$\hat{n}_0 = \left[\begin{array}{c} \cos\alpha_0 \cos\delta_0 \\ \sin\alpha_0 \cos\delta_0 \\ \sin\delta_0 \end{array}\right],$$ con su posición final tomando la misma forma con$0\rightarrow 1$. La proyección ortográfica sobre cualquier vector es simplemente el proceso de proyectar la componente del vector en la dirección de$\hat{n}_0$. La fórmula estándar para esto es $$\vec{v}_\perp = \vec{v} - \hat{n}_0 (\vec{v}\cdot\hat{n}_0).\tag1$$

En principio, podría aplicar la Ecuación (1) numéricamente con$\vec{v}$como el polo norte, y luego como$\hat{n}_1$, entonces el producto escalar entre los resultados normalizados le dará el ángulo de posición.

Sin embargo, hacerlo de esa manera es probablemente un error. Mira, la mayoría de las posiciones en astronomía,$\hat{n}_0$y$\hat{n}_1$, estará separado por un ángulo pequeño, por lo que la Ecuación (1) sufrirá mucho por la pérdida de significado . Por eso es una buena idea continuar con la derivación para obtener una fórmula que no tenga este problema.

Examinar la estructura de$\hat{n}_0$vale la pena hacerlo porque simplificará enormemente el álgebra. Es lo que obtienes si comienzas con el$x$-vector unitario de dirección,$\hat{x}$, girar alrededor de la$y$-eje por$\delta_0$y luego gire alrededor de la$z$-eje por$\alpha_0$. Visto de esta manera, encontrar los dos vectores que son perpendiculares a$\hat{n}_0$que necesitamos es bastante sencillo: simplemente aplique las mismas matrices de rotación a$\hat{y}$y$\hat{z}$. En otras palabras, puede leerlos de las columnas de la matriz de rotación

$$\begin{align} R &= \left[\begin{array}{ccc} \cos\alpha_0 & -\sin\alpha_0 & 0 \\ \sin\alpha_0 & \cos\alpha_0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} \cos\delta_0 & 0 & -\sin\delta_0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\alpha_0 & 0 & \cos\alpha_0 \end{array}\right] \\ & = \left[\begin{array}{ccc} \cos\alpha_0 \cos\delta_0 & -\sin\alpha_0 & -\cos\alpha_0 \sin\delta_0 \\ \sin\alpha_0 \cos\delta_0 & \cos\alpha_0 & -\sin\alpha_0 \sin\delta_0 \\ \sin\delta_0 & 0 & \cos\delta_0 \end{array}\right].\tag2 \end{align}$$ Elegí cómo aplicar los signos a las funciones de seno en las dos matrices de rotación para que la primera columna coincidiera$\hat{n}_0$.

Llamemos a la segunda columna de (2)$\hat{E}'$, y la tercera columna$\hat{N}'$. Observe que si rotamos un conjunto estándar de$x$-$y$ejes en 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces el$x$-eje corresponde al Norte y el$y$al este Por lo tanto, podemos usar la fórmula estándar para el componente bidimensional de un vector y su ángulo polar si identificamos$\hat{n}_1\cdot\hat{N}'$como el$x$-componente y$\hat{n}_1\cdot\hat{E}'$como el$y$. esa fórmula es

$$\begin{align} P &= \operatorname{atan2}\left(y,\,x\right)\\ & = \operatorname{atan2}\left(\sin\delta_1\cos\delta_0 - \sin\delta_0\cos\delta_1 \cos(\alpha_1-\alpha_0),\,\cos\delta_0\sin(\alpha_1-\alpha_0)\right). \tag3 \end{align}$$

Porque$\cos\delta > 0$para todas las declinaciones, puede hacer que la fórmula se parezca más a la estándar de los libros de texto. Mi propio instinto es evitar usar$\tan\delta$porque diverge cerca de los polos. Esta fórmula funcionará para todos.$\alpha$y$\delta$, siempre que los dos puntos sean distintos. Lo único que queda es jugar con el$x$-como argumento para que se comporte bien, numéricamente, cuando los puntos están cerca uno del otro. Para hacerlo, utilice$\sin\delta_1\cos\delta_0 = \sin(\delta_1-\delta_0) + \sin\delta_0\cos\delta_1$y$1 - \cos(\alpha_1-\alpha_0) = 2\sin^2\left(\frac{\alpha_1 - \alpha_0}{2}\right)$Llegar

$$P = \operatorname{atan2}\left(\sin(\delta_1-\delta_0) + 2\sin\delta_0\cos\delta_1 \sin^2\left(\frac{\alpha_1-\alpha_0}{2}\right),\,\cos\delta_0\sin(\alpha_1-\alpha_0)\right). \tag4$$

En principio, le gustaría investigar cuándo es mejor usar (3) o (4) numéricamente. En la práctica, sospecho que (4) funcionará mejor que (3), en términos de precisión numérica, en la gran mayoría de los casos que preocupan a los astrónomos.