Pensé que sería divertido hacer una simulación básica de un vuelo de regreso en la primera etapa del Falcon 9 de SpaceX, pero me preguntaba qué matemáticas se utilizan para realizar algo como esto. Mirando esta página: http://en.wikipedia.org/wiki/Trajectory_of_a_projectile , hay una buena ecuación para calcular la distancia que cubrirá un proyectil, pero esto se basa en una tierra plana, aceleración gravitacional constante y ausencia de arrastre. . Además, usar esta fórmula también implicaría un cambio instantáneo delta-v para que sea precisa (a menos que volvamos a calcular cada segundo más o menos durante el encendido del motor para obtener un resultado más preciso), lo que también es bastante poco realista considerando las escalas de tiempo involucradas.
Entonces, mi pregunta es esta: si consideramos que la primera etapa del Falcon 9 es una masa puntual, de modo que no tengamos que preocuparnos por la dinámica de actitud de 6 DOF, y también solo miremos 2 dimensiones en lugar de tener que preocuparnos por un 3D Tierra esférica, qué ecuaciones se usarían para calcular con precisión el tiempo de combustión requerido para que la primera etapa del Falcon 9 se acerque a unos pocos kilómetros de su objetivo de superficie previsto cuando se tiene en cuenta la resistencia atmosférica y una Tierra circular. Cualquier enlace a sitios web informativos que cubran algo como esto, o trabajos académicos, sería muy apreciado. ¡Gracias!
Realmente desea dividir su exploración en una serie de proyectos. Voy a suponer que tienes algo de experiencia en matemáticas y física. De lo contrario, conseguirlos es la tarea #0.
Primero, desea construir un integrador de Runge Kutta que integre numéricamente un sistema de ecuaciones diferenciales desde un vector de estado de condición inicial hasta un momento arbitrario en el tiempo.
En segundo lugar, desea obtener las ecuaciones de movimiento de su vehículo. Comenzaría simplemente dejando caer una masa incontrolada con cierta velocidad inicial.
Tercero, implemente su sistema de control de elección en el sistema de ecuaciones.
Finalmente, emplee la teoría de control óptimo para minimizar una función de costo de elección (¿minimizar el propulsor requerido quizás?).
No, estas no son necesariamente cosas simples de hacer. Pero las cosas importantes rara vez lo son.
El capítulo 3 del texto de Hicks Introducción a la reentrada astrodinámica proporciona una descripción general de la derivación de las ecuaciones de movimiento de reentrada. El texto se puede encontrar en este enlace y también proporciona una introducción a los métodos de control de reingreso, como el aerofrenado. Las ecuaciones de reentrada de traslación son ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales altamente acopladas que requieren rutinas numéricas (p. ej., integradores RK) para las soluciones, a menos que se hagan algunos supuestos muy simplificadores (p. ej., entrada plana, ángulos de alabeo constantes, etc.). Esta referencia en FAA.gov también proporciona una discusión de reingreso utilizando una formulación de compensación de energía cinética/potencial, que también podría ser una buena manera de comenzar a pensar en su proyecto.
Hay una buena cantidad escrita sobre el sistema de guía para los módulos de aterrizaje lunares Apolo; los mismos principios se aplican para cualquier aterrizaje motorizado, aunque debe agregar la resistencia atmosférica a su modelo para los aterrizajes en la Tierra.
Las ecuaciones que se muestran en "Teoría de la guía de descenso motorizado" en esta página son la clave para que los deltas de posición y velocidad lleguen a cero al mismo tiempo (que es lo que necesita para un aterrizaje suave y preciso).
Las notas de Robert Braeunig sobre su simulación LM también son potencialmente útiles.
No te enfrentas a un problema matemático, de verdad, esto es física. Las matemáticas son sólo una de las herramientas necesarias. También necesitas modelos de arrastre (aerodinámica)
Y siendo realistas esto se resuelve por métodos numéricos. Calcula la serie de tiempo x[t], y[t], vx[t], vy[t], Fx[t], Fy[t], m[t]para cada paso de tiempo dt. Esto reemplaza el cálculo de las ecuaciones diferenciales e integrales relacionadas.
Lo haría como una simulación numérica y planearía tener un paso de tiempo de un milisegundo o menos. Cualquier procesador moderno debería poder hacer todas las ecuaciones para cada paso en unos pocos milisegundos en el peor de los casos, por lo que debería poder ejecutarse en tiempo real (o supongo, mucho más rápido).
Primero debe hacer el empuje y el arrastre para obtener las fuerzas, luego use la masa en ese paso de tiempo para obtener la aceleración, use eso para actualizar el vector de velocidad y luego use eso para actualizar el vector de posición.
Mi conjetura es que la tierra esférica desaparece ya que estás fuera de ella y puedes tratarla como una masa puntual en el centro.
Entonces, para obtener el empuje, debe calcular el empuje del motor de referencia y luego a qué porcentaje está funcionando en cada paso de tiempo. La resistencia atmosférica estará en la dirección opuesta del vector de velocidad y será básicamente una constante de resistencia multiplicada por el área proyectada multiplicada por la velocidad relativa al aire al cuadrado. (Sí, el arrastre es un fenómeno de V al cuadrado) El arrastre de la gravedad será una constante. A partir de eso y la masa en el intervalo de tiempo, debería poder obtener la aceleración.
Comience en el despegue con el vector de ubicación y el vector de velocidad siendo cero y luego haga cada paso de tiempo y verifique que los resultados parezcan plausibles.
InquisitivoIndagador
erik
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