Marco inercial y no inercial

En mecánica clásica, un marco inercial es, por definición, un marco de referencia donde la ley de inercia es válida. Es una definición física. Luego, puede encontrar matemáticamente un número infinito de marcos de referencia que requieren que los marcos de referencia inerciales sean marcos que se mueven con velocidad constante con respecto a uno inercial. Entonces, descubres que un marco es inercial con experimentos, ya sean experimentos reales o mentales.

Este tema se aborda en el libro 'Gravitation', de Misner, Thorne y Wheeler.

Párrafo 12.3

Punto de principio: ¿cómo se pueden escribir primero las leyes de la gravedad y las propiedades del espacio-tiempo en coordenadas galileanas (párrafo 12.1), y solo después (aquí) comprender la naturaleza del sistema de coordenadas y su falta de unicidad? Respuesta: (una cita del parágrafo 3.1, ligeramente modificada): “Aquí y en otras partes de la ciencia, como enfatiza sobre todo Henri Poincaré, ese punto de vista está desactualizado que solía decir 'Define tus términos antes de continuar'. Todas las leyes y teorías de la física, incluidas las leyes de la gravedad de Newton, tienen este carácter profundo y sutil, que tanto definen los conceptos que usan (aquí coordenadas galileanas) como hacen declaraciones sobre estos conceptos".

La discusión en la sección 3.1 del libro es la siguiente:

Todas las leyes y teorías de la física, incluida la ley de fuerza de Lorentz, tienen este carácter profundo y sutil, que definen los conceptos que utilizan (aquí B y E) y hacen declaraciones sobre estos conceptos. Por el contrario, la ausencia de algún cuerpo de teoría, ley y principio priva a uno de los medios apropiados para definir o incluso usar conceptos.

Cualquier paso adelante en el conocimiento humano es creativo en este sentido: que la teoría, el concepto, la ley y el método de medición -para siempre inseparables- nacen en el mundo en unión.

Entonces: de acuerdo con MTW, y creo que su punto de vista es muy convincente, cada teoría y ley sirve tanto para hacer declaraciones sobre conceptos como para definir operativamente esos conceptos.

Y sí, superficialmente eso se parece al razonamiento circular.
La diferencia, por supuesto, es que una vez que llegamos a la física aplicada, tenemos una prueba. Usted diseña una máquina o un proceso, y cuando el diseño funciona de la manera que sus leyes físicas predicen, entonces sabe que está en terreno firme. Ejemplo: lanzamos sondas a otros planetas de nuestro sistema solar; su movimiento coincide con nuestras leyes físicas.

(Dicho sea de paso, eso plantea la pregunta: ¿qué tal una disciplina que no está en condiciones de aplicar ninguna de sus teorías en forma de dispositivo o proceso? Sí, creo que en esa situación es posible producir un razonamiento circular. )

Creo que no existe una definición "matemática" honesta de un marco inercial. Escuché dos definiciones en mi vida:

1) A frame centered at Sun with axis pointing to distant objects in the Universe.

2) A frame where Newtonian laws are valid.

Creo que la segunda es la definición en "círculo": ¿En qué marco son válidas las leyes de Newton? En uno inercial. ¿Qué es un marco inercial? Bueno, aquel en el que los mínimos newtonianos son válidos...

El primero no es "matemático". Sin embargo, mi preferencia personal es la primera, pero la modificaría:

Un marco de referencia inercial es el del fondo cósmico de microondas o uno que se mueve con un vector de velocidad constante hacia él...

¿Cómo definir matemáticamente un marco de referencia inercial?

La definición de inercial es física, no matemática. Sin embargo, puede reconocerlos e identificarlos fácilmente matemáticamente.

Un marco inercial tiene una métrica de la forma

El marco inercial se puede definir como un marco en el que la derivada temporal de los vectores base en relación con otro marco inercial es constante.

Por ejemplo, supongamos un marco inercial O, si queremos saber si O' es inercial o no podemos decir que, O' con vectores base$<e'_1,e'_2,e'_3>$,

$d/dt<e'_1,e'_2,e'_3>=0$

Si el marco inercial O, mide esto podemos decir que, ese marco (O') es inercial. Si el resultado es distinto de cero, O' definitivamente no es inercial.

Se ha argumentado (en la respuesta de @RenatoRenatoRenato) que un marco de referencia inercial es aquel donde la Ley de Inercia es válida. Esto es equivalente a decir, como también se argumentó (en la respuesta de @Dale), que los símbolos de Christoffel desaparecen en todas partes.

Tuve un profesor que dijo: "¿Cómo sabes que un marco de referencia es inercial? ¡Fácil! ¡Solo toma el marco que tiene el conjunto de fuerzas más simple!"

Si bien estos obviamente no son incorrectos, me temo que no responden la pregunta de manera práctica. Como se argumentó (en la excelente respuesta de @Cleonis, y también de @F.Jatpil), debe definir qué es un marco de referencia inercial antes de establecer la primera ley, de hecho, antes de establecer cualquiera de las leyes de la mecánica, tal vez incluso antes de afirmar nada de física!

Siempre tiene que medir el sistema para saber qué marcos son inerciales, no hay escapatoria. En última instancia, la física, a diferencia de las matemáticas, es una ciencia natural, por lo que se basa en aspectos del mundo físico que usamos como base para definir todo lo demás . Aunque algún día podamos obtener una explicación completa de la inercia, esa explicación probablemente dependa de algún otro concepto físico, quizás mucho más profundo, pero es difícil creer que sea de naturaleza puramente matemática.

Como nota al margen, me gusta la idea de @F.Jatpil, para observar el CMB, ya que un marco acelerado vería esa radiación "más caliente", pero incluso entonces hay que medirla de alguna manera. Y tenga en cuenta que ese método aún no funcionaría en el caso de que vivamos en un universo acelerado.

La conclusión es: no puede definir un marco de referencia inercial a partir de los primeros principios, necesita equipar su eje de coordenadas con acelerómetros y giroscopios desde los cuales mide la aceleración adecuada , y mediante los cuales puede distinguirla de la aceleración puramente coordinada.