¿Los sistemas gravitacionales de muchos cuerpos eventualmente se desmoronan?

Esta respuesta trata con una clase particular de sistemas, donde se cumplen estas suposiciones:

• La gravedad es la única fuerza importante entre los cuerpos (esto también funcionaría para cualquier otra ley del cuadrado inverso puramente atractiva).
• Se producen colisiones (o encuentros) en el sentido de procesos modelados por la ecuación de Fokker-Planck (en lugar de la ecuación de Boltzmann sin colisiones). Por ejemplo, para un sistema estelar, esto significa que las estrellas pueden dispersarse gravitacionalmente unas de otras.
• Las colisiones inelásticas (choques directos entre estrellas, también fuertes interacciones de mareas) ocurren lo suficientemente raramente como para no ser importantes.

Estas suposiciones son válidas para sistemas estelares como un cúmulo globular o la mayoría de las galaxias. Me referiré a esta validez un poco más abajo.

Un concepto más para presentar antes de llegar a una respuesta. En dinámica estelar, "relajación" se refiere al proceso por el cual se perturban las órbitas de estrellas individuales, lo que eventualmente tiende a llevar el sistema a una configuración con un núcleo estelar denso y un "halo" difuso de estrellas que lo rodean. La escala de tiempo característica para que esto ocurra es$t_{\rm rh}$:

$N$es el número de partículas en el sistema,$\lambda$se determina empíricamente y normalmente se toma como$0.1$,$r_{\rm h}$es el radio que encierra la mitad de la masa del sistema,$M$es la masa total del sistema y$G$es, por supuesto, la constante gravitatoria.

Ahora la respuesta real. Cuando las estrellas orbitan en un sistema estelar, interactúan e intercambian energía. Una estrella en particular puede ganar energía gradualmente a través de múltiples interacciones hasta que tenga energía positiva (es decir, energía cinética que exceda el potencial que la une al sistema), luego puede escapar del sistema y salir "hacia el infinito". Las partículas restantes están menos unidas al sistema y, gradualmente, más y más partículas pueden escapar a través del mismo proceso. Finalmente, solo quedan dos partículas (estrellas) y están en una órbita kepleriana una alrededor de la otra.

Una forma aproximada de estimar la escala de tiempo para la evaporación es suponer que las estrellas con velocidades superiores a la velocidad de escape se eliminan en la escala de tiempo.$t_{\rm rh}$. Suponiendo una distribución de velocidad maxwelliana, la fracción de estrellas con velocidades superiores a la velocidad de escape es$\gamma=7.38\times10^{-3}$. La tasa de pérdida es entonces:

Por lo tanto, la definición natural para la escala de tiempo de evaporación es$t_{\rm evap}=t_{\rm rh}/\gamma$, por lo que el sistema se evapora en aproximadamente$140$escalas de tiempo de relajación. Un cálculo más detallado da un valor más cercano a$t_{\rm evap}\approx 300 t_{\rm rh}$.

Con respecto a la rareza de los encuentros inelásticos, la escala de tiempo para las colisiones en un cúmulo globular típico es$t_{\rm coll}\approx4\times10^{3}t_{\rm rh}$(incluso más en una galaxia), por lo que, en general, estas colisiones pueden despreciarse con seguridad en el contexto de la evaporación, pero en algunos casos pueden ser tan breves como$t_{\rm coll}\approx20t_{\rm rh}$.

Mi referencia para todo lo anterior es el texto Galactic Dynamics de Binney & Tremaine (2 ed.) . El Capítulo 7 trata sobre la evaporación de los sistemas estelares y muchos procesos relacionados, probablemente con más detalle de lo que nunca quisiste ver. Si no está satisfecho con lo anterior, le sugiero que lo lea, ya que realmente no quiero producir un refrito de un capítulo completo de un libro aquí. Sin embargo, si algo de lo anterior requiere una aclaración, ¡házmelo saber!