Version corta

Después de integrar todos los ángulos salientes posibles, la sección transversal total de la dispersión elástica coherente de un objetivo fijo de longitud característica$L$escalas como$L^4$. ¿Significa esto que, dado un haz de dispersión angular suficientemente pequeña y detectores capaces de una resolución angular suficientemente fina, hay efectos coherentes sobre distancias macroscópicas arbitrariamente más largas que la longitud de onda del haz?

Versión larga

Considere un objetivo de$N$átomos idénticos ubicados en posiciones$\vec{x}_n$(dónde$n = 1,\ldots, N$) que es bombardeado por un flujo de partículas entrantes, que llamaremos neutrinos. Colocar$\hbar = 1$y deja$\vec{k} = 2\pi/\lambda$Sea el impulso del neutrino entrante, donde$\lambda$es la longitud de onda de De Broglie. Dejar$f(\theta)$Sea la amplitud de dispersión de un neutrino en un solo átomo libre, por lo que la sección transversal diferencial es

$$\begin{align} \frac{d \sigma_0}{d\Omega} = \vert f(\theta) \vert^2 \end{align}$$ por un átomo. Como corresponde a los neutrinos, suponga que $f(\theta)$es muy pequeño para que la aproximación de Born sea aplicable. En particular, podemos ignorar múltiples eventos de dispersión.

Para muchos procesos de dispersión, la sección transversal del objetivo$\sigma_\mathrm{T}$es solo$N$veces la sección transversal de cada átomo:$N \sigma_0$. Sin embargo, para la dispersión elástica de neutrinos de energía extremadamente baja desde los núcleos relativamente pesados ​​de los átomos, la longitud de onda muy larga de los neutrinos significa que los diversos núcleos contribuyen coherentemente a la sección transversal. Cuando$\lambda \gg L$, dónde$L$es el tamaño del objetivo, uno tiene$\sigma_\mathrm{T} = N^2 \sigma_0$en vez de$N \sigma_0$[1]. En general$k$, la sección transversal total es [2]

$$\begin{align} \frac{d \sigma_\mathrm{T}}{d\Omega} = \left\vert \sum_{n=1}^N f(\theta) \, e^{-i \vec{x}_n \cdot (\vec{k}-\vec{l})} \right\vert^2 \end{align}$$ dónde $\vec{l}$es el impulso del neutrino saliente [3] y $\theta$es el ángulo entre $\vec{k}$y $\vec{l}$. Porque es elástico, $|\vec{l}|=|\vec{k}|=k$.

Una propiedad de la ecuación (1) es que para$L \gg \lambda$hay una gran supresión de la dispersión en la mayoría de las direcciones porque la fase en la exponencial tiende a cancelarse para los diferentes átomos en la suma. La excepción es cuando$\vec{l}$está muy cerca de$\vec{k}$(es decir, baja transferencia de cantidad de movimiento, muy ligera dispersión), porque entonces la fase del exponente varía muy lentamente de átomo a átomo. Esto significa que para objetivos grandes, la gran mayoría de la dispersión se produce en la dirección de avance.

Ahora restringir al caso$A \lesssim \lambda \lesssim L$, dónde$A$es el espaciado atómico típico. Lo que inicialmente es confuso acerca de esto es que si pedimos la sección transversal total al integrar sobre$\hat{l}$, encontramos para grandes$L$que [4]

$$\begin{align} \sigma_\mathrm{T} = \int_\Omega d \hat{l} \frac{d \sigma_\mathrm{T}}{d\Omega} \sim \frac{N^2}{L^2 k^2} = \rho^{2/3} \lambda^2 N^{4/3} \end{align}$$ dónde $\rho = N/L^3$es la densidad numérica de los átomos. Esto significa que, para una densidad fija y un momento de neutrino fijo, la sección transversal total crece más rápido que el número de átomos en el objetivo, incluso en escalas de distancia mucho mayores que la longitud de onda del neutrino. En este sentido, los efectos de dispersión coherentes no son locales a grandes distancias.

La historia que me han contado es que esto se resuelve incorporando las realidades de un detector del mundo real. Para cualquier experimento tradicional, siempre hay un ángulo de aceptación hacia adelante mínimo$\theta_0$que puede detectar. Las partículas que se dispersan en ángulos más pequeños son indistinguibles de las partículas no dispersadas en el haz. En efecto, si dejamos$\tilde{\sigma}_\mathrm{T}$ser la sección transversal detectable dispersada en ángulos mayores que$\theta_0$para cualquier fijo$\theta_0>0$, encontramos

$$\begin{align} \tilde{\sigma}_\mathrm{T} = \int_{\theta > \theta_0} d \hat{l} \frac{d \sigma_\mathrm{T}}{d\Omega} \sim \frac{N^2}{L^4 k^4} = \rho^{4/3} \lambda^4 N^{2/3}. \end{align}$$ Esto concuerda con nuestra intuición. creciendo como $N^{2/3}$es lo mismo que crecer como $L^2$, es decir, hay una cancelación completa en la mayor parte del objetivo, y la única dispersión significativa es desde la superficie (que escala como $L^2$).

¿Es esto todo lo que hay que decir? ¿Podemos ver potencialmente la dispersión de partículas (con longitud de onda a escala atómica) que demuestre contribuciones coherentes de átomos objetivo separados por metros? ¿Hay otros factores limitantes además de un camino libre medio finito de la partícula entrante (que rompe la aproximación de Born) y la resolución angular del detector?

forma de respuesta

Como respuesta afirmativa, aceptaría (a) cualquier cosa que apunte a una fuente confiable (libro de texto o artículo de revista) que discuta explícitamente la posibilidad de efectos coherentes en distancias arbitrariamente grandes o (b) un argumento que mejore significativamente el que he hecho. arriba. Para respuestas negativas, cualquier argumento concluyente sería suficiente.

Prima

Se me ha argumentado que la aproximación de Born no es válida para la transferencia de cantidad de movimiento pequeña$\vec{k}-\vec{l}$, porque la aproximación requiere que la energía asociada con esta transferencia sea mucho mayor que el potencial (que no puede ser el caso para$\vec{k}-\vec{l}=0$). Esto parece entrar en conflicto explícitamente con los libros de texto sobre la aproximación de Born que establecen cosas como

Para cualquier potencial$V$hay un$\bar{\lambda} > 0$tal que la serie Born (9.5) converge al on-shell correcto$T$matriz para todos los valores$\vec{p}$y$\vec{p}'$, proporcionó$|\lambda| < \bar{\lambda}$.

["Teoría de la dispersión: la teoría cuántica de las colisiones no relativistas" (1972) de John R. Taylor]

(Aquí,$\lambda$es el coeficiente de expansión.)

¿Tiene alguna validez esta objeción?

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[1] Para macroscópico$N$, esto puede ser un gran impulso. Esto fue responsable de cierto optimismo (fuera de lugar) en los años 70 y 80 de que los neutrinos reliquia podrían ser detectables.

[2] Esta forma también aparece en muchos lugares menos exóticos que la física de neutrinos, como la dispersión de neutrones y rayos X.

[3]$d\Omega$es la diferencial sobre las direcciones posibles$\hat{l}$.

[4] Este comportamiento es independiente de los detalles de la geometría. El$1/3$Vienen de las integrales sobre 3 dimensiones espaciales.