¿Los electrones en el centro del Sol están degenerados o no?

Verificar la degeneración de electrones es una cuestión de comparar la energía cinética de Fermi con$kT$.

Si$E_F/kT \gg 1$, entonces puede suponer que los electrones están degenerados.

La densidad central del Sol es alrededor$\rho=1.6\times 10^5$kg/m2$^3$y el número de unidades de masa atómica por electrón es alrededor$\mu_e =1.5$.

Por lo tanto, la densidad numérica de los electrones es$n_e =\rho/\mu_e m_u = 6.4\times 10^{31}$metro$^{-3}$.

El impulso de Fermi es$p_F = (3n_e/8\pi)^{1/3} h = 1.3\times 10^{-23}$kg ms$^{-1}$. Como$p_F \ll m_e c$entonces los electrones son no relativistas y por lo tanto$E_F \simeq p_F^{2}/2m_e = 9.3\times 10^{-17}$j

Como la temperatura en el núcleo solar es$T =1.57\times 10^7$entonces$E_F/kT = 0.43$. Esta relación es claramente demasiado pequeña para que los electrones se consideren parcialmente degenerados. (Por ejemplo, la relación es más como 1000 en una típica estrella enana blanca degenerada de electrones, y alrededor de 20 en el centro de una enana marrón parcialmente degenerada de electrones).

Creo que esto concuerda con un tratamiento basado en la longitud de onda de De Broglie. La raíz de este método es el principio de incertidumbre en 3D. La degeneración será importante cuando

$$(\Delta p \Delta x)^3 \simeq (\hbar/2)^3,$$ dónde $\Delta x$es la separación de electrones y $\Delta p$es una diferencia media en los momentos electrónicos.

si dejamos$\lambda \simeq h/\Delta p$, entonces vemos que la degeneración es importante cuando$\Delta x \simeq \lambda/4\pi$. es decir, se produce una degeneración grave cuando la longitud de onda de De Broglie es un orden de magnitud mayor que la separación de electrones.

Está bien, pero la proporción tampoco es cero, por lo que habrá una pequeña corrección en el cálculo perfecto de la presión del gas. Para resolver esto correctamente, tendría que hacer una integración numérica para encontrar la presión debida a un gas de degeneración muy leve.

Para ver si vale la pena molestarse, simplemente podría ver cuál es la relación entre la presión de degeneración ideal en esta densidad de número de electrones y la presión de gas perfecta en el núcleo del Sol.

Apenas:

$$\frac{P_{deg}}{P} = \frac{h^2}{20m_e} \left(\frac{3}{\pi}\right)^{1/3} n_{e}^{5/3} \frac{1}{(n_i +n_e) kT},$$ dónde $n_i$es la densidad numérica de los iones en el gas. si decimos $n_i \simeq n_e$(en realidad es un poco más pequeño debido a los núcleos de helio presentes), luego coloque los otros números, encontramos que $P_{deg}/P \sim 0.09$. Por lo tanto, concluiría que si desea calcular la presión con una precisión superior al 10 por ciento, debe tener en cuenta la degeneración muy parcial de los electrones en el núcleo solar (y su composición exacta).

UN tratamiento MUCHO más formal (ver por ejemplo el Capítulo 2 de Clayton, D. 1983, Principios de Evolución Estelar y Nucleosíntesis, Univ. de Chicago Press), muestra que la presión de electrones (los iones no son degenerados y pueden ser tratados como un gas perfecto) se puede escribir (si los electrones no son relativistas)

$$P_{e} = n_e kT \left(\frac{2F_{3/2}}{3F_{1/2}} \right),$$ donde el término entre paréntesis da la razón por la cual la presión del gas electrónico se aparta de la ley de los gases perfectos, y donde $$F_n(\alpha) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^n}{\exp(\alpha + u) + 1}\ du,$$ con $u = E_k/kT$y $\alpha= -\mu/kT$, dónde $\mu$es el potencial químico dado al invertir $$n_e = \frac{4\pi}{h^3}(2m_e kT)^{3/2} F_{1/2}(\alpha)$$ NÓTESE BIEN: $\mu \rightarrow E_F$cuando $\alpha \ll -1$.

Estas expresiones deben evaluarse numéricamente o tomarse de tablas (por ejemplo, Tabla 2.3 en Clayton 1983). Sin embargo,$P_e/n_e kT$es$\geq 1$para todos los valores de$\alpha$. Entonces, cualquier degeneración siempre aumenta la presión sobre la de un gas perfecto. La siguiente imagen (de Clayton 1983) muestra cómo$P_e/n_e kT$varía con$\alpha$. Clayton dice que "la presión del gas es esencialmente la de un gas no degenerado para$\alpha>2$".

Entonces, poniendo algunos números para el Sol, encontramos$F_{1/2}(\alpha) = 0.19$y de la Tabla 2.3 de Clayton, obtenemos$\alpha \simeq 1.45$. Esto a su vez significa que$2F_{3/2}/3 \simeq 0.20$. Así que la presión de electrones es un factor de$\simeq 1.05$mayor que la ley de la presión de los gases perfectos a la misma densidad y temperatura.