¿Lógica clásica, lógica simbólica, lógica de orden superior, lógica de primer orden? Aprendiendo desde cero

Me gustaría hacerle una pregunta acerca de la lógica.

Estudio filosofía en una universidad cristiana española. En el primer año, estudiamos lógica pero es la clásica, siguiendo el Organon de Aristóteles , los autores escolásticos, etc. (creo que se llama lógica proposicional o lógica de orden cero?).

Ahora, estoy un poco confundido, porque hasta donde yo sé, los siglos XIX y XX han creado nuevos y diferentes tipos de lógicas basadas en las matemáticas.

La cosa es que estoy realmente perdido en este tipo de lógicas. No tengo idea sobre ellos y me gustaría aprenderlos de los libros.

Lo mío es la filosofía continental, pero es importante aprender estas cosas. Y aquí está mi pregunta: cada vez que leo una entrada en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford encuentro muchas de estas cosas que realmente no entiendo. Por ejemplo, digamos que quiero encontrar información sobre "Realismo", empiezo a leer la entrada y de repente encuentro estos símbolos extraños:

Supongamos, en primer lugar, que uno desea negar la afirmación de existencia que es un componente del realismo platónico sobre la aritmética. Una forma de hacer esto sería proponer una reducción analítica del habla que aparentemente involucra entidades abstractas para hablar sobre solo entidades concretas. Esto puede ilustrarse considerando un lenguaje cuya verdad de oraciones aparentemente implica la existencia de un tipo de objeto abstracto, las direcciones. Supongamos que existe un lenguaje de primer orden L, que contiene una gama de nombres propios 'a', 'b', 'c', etc., donde estos denotan líneas rectas concebidas como inscripciones concretas. También hay predicados y relaciones definidas en líneas rectas, incluido '... es paralelo a...'. 'D( )' es un término singular que forma un operador en líneas, por lo que al insertar el nombre de una línea concreta, como en 'D(a)', produce un término singular que representa un objeto abstracto, la dirección de a. Ahora se introducen una serie de definiciones contextuales:

(A) 'D(a) = D(b)' es verdadera si y sólo si a es paralela a b.

(B) 'ΠD(x)' es verdadero si y solo si 'Fx' es verdadero, donde '... es paralelo a...' es una congruencia para 'F( )'.

(Decir que '... es paralela a...' es una congruencia para 'F( )' es decir que si a es paralela a b ya Fa, entonces se sigue que Fb).

(C) '(∃x)Πx' es verdadero si y solo si '(∃x)Fx' es verdadero, donde 'Π' y 'F' son como en (B).

¿Qué es esto? ¿Lógica de primer orden ("∃x significa que existe un...") o qué? ¿Qué libros debo leer para comprender estas entradas y esta lógica desde cero y poder escribir argumentos razonados como este?

Gracias por tu ayuda.