Ley de refracción de la teoría de la difracción escalar

Estoy tratando de averiguar si la Ley de Snell para la refracción se puede derivar de la teoría de la difracción escalar .

La configuración es esta: luz (onda plana, con vector de onda k → i = ( k X , k y , k z ) ) cae sobre una interfaz plana que se toma como plano xy; el lado incidente tiene índice de refracción norte i . Quiero averiguar el vector de onda del rayo refractado. k → , en el otro lado de la interfaz, que tiene índice de refracción norte . Por supuesto, asumo que las magnitudes de los vectores de onda son proporcionales a los índices de refracción de los respectivos medios; es decir | k | / | k i | = norte / norte i .

Comienzo con la integral de difracción de Fresnel, con luz de onda plana

tu ( ξ , η , z = 0 ) = Exp ⁡ ( i [ k X ξ + k y η + 0 ] )
y llegó al punto de demostrar que
tu ( X , y , z ) = Exp ⁡ ( i [ k X X + k y y + k z ′ z ] ) ,
dónde
k z ′ = k − k X 2 + k y 2 2 k .

Me alegró ver que este campo tiene el mismo k X y k y valores, pero no importa cómo juegue con k z ′ , no puedo demostrar que sea consistente con la Ley de Snell.

¿Algún consejo?

@George: Gracias, he aclarado la configuración en la que se realizan los cálculos, donde he indicado dónde se usan los índices de refracción. Soy consciente de la derivación elegante utilizando el principio de "tiempo mínimo" de Fermat; ¡Estoy explorando/aprendiendo la teoría de la difracción escalar y quería ver si puedo mostrar esto! :)
Prabhakar, perdóneme si mi comentario sonó desdeñoso; no estaba destinado a ser. Toda mi experiencia proviene de la industria comercial real; que generalmente se enfoca en la forma más simple de encontrar una solución (también menos costosa). Pero si su objetivo era comprender el uso de la teoría de la difracción, ese es un problema diferente. También apoyaría la mención de Born y Wolfe. Casi se podría decir que si no está ahí, ¡no es necesario que lo sepas!

Respuestas (3)

En la teoría de ondas escalares, simplemente vas a imponer la continuidad del campo escalar a través del límite.

El razonamiento es el mismo ya sea que considere o no las reflexiones, cuya magnitud y forma se pueden obtener de la teoría escalar al imponer una condición límite adicional de derivadas normales continuas a través de la interfaz.

Con o sin reflexiones, la variación escalar a lo largo de la interfaz en el lado de incidencia es Exp ⁡ ( i k norte i pecado ⁡ θ i X ) , dónde norte i es el índice de refracción del medio en el lado entrante de la interfaz, k el número de onda del espacio libre y X se mide a lo largo del plano de interfaz en el plano de incidencia (plano que contiene el vector de onda y la interfaz normal). El pecado ⁡ θ i surge simplemente porque el vector de onda está sesgado en relación con la interfaz normal: es el componente del vector de onda en el plano de la interfaz.

Por el mismo razonamiento, la variación escalar a lo largo de la interfaz en el lado de salida (transmisión) es simplemente Exp ⁡ ( i k norte t pecado ⁡ θ t X ) , dónde norte t es el índice de refracción en ese lado.

Entonces, para la continuidad del campo escalar, debemos tener:

Exp ⁡ ( i k norte i pecado ⁡ θ i X ) = Exp ⁡ ( i k norte t pecado ⁡ θ t X ) , ∀ X ∈ R

que sólo puede ser cierto si

norte i pecado ⁡ θ i = norte t pecado ⁡ θ t

que es, por supuesto, la Ley de Snell.

La imagen completa del campo vectorial se encuentra en la derivación de las ecuaciones de Fresnel como se indica, por ejemplo, en la sección 1.5 de la sexta edición de:

Born and Wolf, "Principios de la Óptica"

sin embargo, la derivación más simple anterior es más general, ya que también funciona para ondas escalares como el sonido.

Gracias, muy agradecido. Sin embargo, no puedo distinguir la ola que has usado en mi X pag ( i k norte i , pecado ⁡ θ i X ) ; debo tomar esto en el sentido de Exp ⁡ ( i k norte ^ i + X ^ pecado ⁡ θ i ) ?
Rasca eso; debo tomar: Exp ⁡ ( i k norte i , pecado ⁡ θ i X ) medio Exp ⁡ ( i k norte i ( z ^ porque ⁡ θ i + X ^ pecado ⁡ θ i ) ) , dónde z ^ y X ^ son vectores unitarios normales y tangenciales. Si es así, todo tiene sentido.
@PrabhakarBhimalapuram Exactamente, aunque solo estamos viendo la variación dentro del plano, entonces z = 0 . He corregido un par de comas deshonestas en mis ecuaciones; es posible que se lean mejor ahora.

Bueno, no estoy seguro de en qué parte de sus matemáticas se ocultan los índices de refracción de los medios, o incluso las velocidades de propagación, por lo que no me queda claro que la ley de Snell deba quedar fuera de su teoría de la difracción.

La ley de Snell se puede obtener comúnmente a partir del principio de Fermat, simplemente resolviendo la longitud mínima del camino a través de un límite de medios.

Respondiendo a mi propia pregunta: el comentario de George y la respuesta de Rod, aunque no son la respuesta exacta, ¡me llevan directamente a descubrir que faltan los pasos "matemáticos"! (que está debajo)

La fórmula de difracción de Fresnel básicamente (en algún lugar de su derivación) Taylor expande la raíz cuadrada, es decir r = ( X 2 + y 2 + z 2 ) = z ( 1 + X 2 + y 2 2 z 2 ) , con una aproximación X 2 + y 2 << z 2 . Entonces, lo que tenía para el componente normal del vector de onda después de la refracción era k − k X 2 + k y 2 2 k básicamente la misma aproximación para k 2 − ( k X 2 + k y 2 ) , mostrando que el vector de onda después de la refracción es ( k X , k y , k 2 − ( k X 2 + k y 2 ) , donde el vector de onda antes de la refracción era ( k X , k y , k z ) . Dado que k X 2 + k y 2 + k z 2 / k = norte i / norte , los vectores de onda satisfacen la Ley de Snell para la refracción.

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