¿Cómo se relaciona el criterio de Rayleigh con el límite de Abbe?

Ambas ecuaciones son de hecho estructuralmente similares con el límite de Abbe dado por$d= \dfrac{\lambda}{2\mathrm{NA}}$

Y límite de Rayleigh dado por$d =1.22 \dfrac{\lambda} {2\mathrm{NA}}= 0.61\dfrac{\lambda} {\mathrm{NA}}$

donde lambda es la longitud de onda y$\mathrm{NA}$la apertura numérica de la lente colectora de luz.

El factor 1,22 proviene de la definición de la función de Bessel de primera clase, el hecho de que el primer mínimo del patrón de difracción aparece a 1,22 unidades del cero central.

El criterio de Rayleigh es, por lo tanto, una modificación del límite de resolución de Abbe. El criterio de Rayleigh establece que para que se resuelvan 2 PSF muy próximas, los máximos centrales de uno deben estar exactamente en los primeros mínimos del segundo. Dado que el patrón de Airy está definido por la función de Bessel, la separación mínima entre los 2 patrones debe ser$1.22 \lambda/ 2\mathrm{NA}$en lugar de solo$\lambda/2\mathrm{NA}$considerando que los primeros mínimos estarán a 1,22 veces la unidad de los máximos centrales.

Como @Felix y @Caterina aún no están satisfechos, agregaré mis 2 centavos, por lo que espero que sean correctos.

Que yo sepa, Rayleigh desarrolló su criterio sobre la difracción de la luz en las rendijas, mientras que Abbe estaba trabajando en microscopía. Por lo tanto, tienes un índice de refracción en uno y no en el otro. Sin embargo, podría acercar la versión de Rayleigh a la de Abbe. Rayleigh declaró lo siguiente:

$$\begin{equation} \theta_{min} \approx 1.22 \frac{\lambda}{d}, \end{equation}$$

dónde$\theta_{min}$representa el radio angular mínimo de un disco de Airy visto desde el centro de la apertura circular,$\lambda$la longitud de onda de la luz y$d$el diámetro de la abertura circular. Ahora bien, esta es la separación angular y tenemos que llevarla a la separación espacial a través de$x_{min} = R \sin\theta_{min}$y obtenemos

$$\begin{equation} x_{min} \approx 1.22 \frac{\lambda R}{d}, \end{equation}$$

dónde$R$es la distancia entre la rendija y la pantalla de imagen. Ahora podemos convertir el$R/d$en el$\sin \alpha$a través de$\sin \alpha = \frac{d/2}{R}$, y obtenemos

$$\begin{equation} x_{min} \approx 1.22 \frac{\lambda}{2\sin\alpha} \approx 0.61\frac{\lambda}{\sin\alpha}, \end{equation}$$

En este punto podemos introducir que hay un índice de refracción diferente en un lado de la rendija y$\sin\alpha$va a$n\sin\alpha$.

$$\begin{equation} x_{min} \approx 0.61\frac{\lambda}{n \sin\alpha} \approx 0.61\frac{\lambda}{NA}. \end{equation}$$

Y esto está muy cerca del límite de Abbe de

$$\begin{equation} x_{min} = 0.5 \frac{\lambda}{NA}. \end{equation}$$

Entonces, en general, se trata de cómo define la distancia mínima a la que aún puede separar dos fuentes.