Ley de la quinta potencia de Wien y leyes de la potencia emisiva de la cuarta potencia de Stephan Boltzmann

La quinta ley de potencia de Wien se aplica a la altura máxima de la densidad de potencia emisiva. La ley de Stefan-Boltzmann se aplica a la potencia emisiva total (la integración de la densidad de potencia emisiva).

De la ley de desplazamiento de Wien (derivada aquí ),$\lambda_\max T = b$es constante Entonces, de la ley de Planck (por ejemplo, ver aquí ):

$I'(\lambda_\max, T) \propto \frac{\lambda_\max^{-5}}{e^{hc/(\lambda_\max k T)} -1} = \frac{T^5/b^5}{e^{hc/(k b)} -1} \propto T^5$

e integrando la ley de Plank (por ejemplo, aquí, excepto que me mantengo en términos de longitud de onda durante un poco más de tiempo) obtenemos, al cambiar las variables a$x=hc/(\lambda kT)$de modo que$\lambda^{-5}d\lambda \propto -T^4x^3dx$(el negativo se absorbe cambiando los límites del intervalo de integración):

$\int_0^\infty I'(\lambda,T)d\lambda \propto \int_0^\infty \frac{T^4 x^3dx}{e^{x}-1} \propto T^4$.