Mantenimiento del equilibrio termodinámico local (LTE) en gas radiante con una amplia línea de transición atómica

Definiciones / Antecedentes

En LTE, la ley de Kirchoff para la radiación se cumple:

j v α v = B v ( T )

dónde j v es la emisividad radiativa específica, α v es la absorción radiativa monocromática, y B v ( T ) es la función de Planck evaluada a la temperatura T .

Considere un gas de átomos de dos niveles con energías mi tu y mi yo , con mi tu > mi yo , pesos estadísticos gramo tu y gramo yo y densidades numéricas norte tu y norte yo . La transición entre estos estados tiene coeficientes de Einstein A tu yo , B tu yo y B yo tu que podemos usar para escribir la emisividad y la absorción de la transición:

j v = h v 4 π norte tu A tu yo ψ ( v )
α v = h v 4 π [ norte yo B yo tu ϕ ( v ) − norte tu B tu yo x ( v ) ]

dónde ψ , ϕ , y x son funciones de perfil de línea que explican los mecanismos de ampliación de línea, como el movimiento térmico.

Entonces, haciendo uso de las relaciones estándar entre los coeficientes de Einstein, tenemos

j v α v = 2 h v 3 C 2 ψ ϕ gramo tu norte yo gramo yo norte tu − x ϕ

Pregunta

Quiero entender cómo el lado derecho de la última ecuación se simplifica a la función de Planck en condiciones de LTE, en todo el ancho de la línea, sin suponer que la línea es estrecha.

Una discusión estándar de este tema, como se encuentra, por ejemplo, en el libro de texto de astrofísica de Rybicki y Lightman, no parece lograr esto. En mi lectura, proceden haciendo las siguientes observaciones y/o suposiciones:

1) Hay una redistribución completa de la frecuencia entre la absorción y todos los tipos de emisión, de modo que ψ = x = ϕ .

2) En LTE a temperatura T, la fracción gramo tu norte yo / ( gramo yo norte tu ) es igual a Exp ⁡ [ h v 0 / ( k T ) ] , dónde v 0 = ( mi tu − mi yo ) / h .

Si eso es cierto, entonces tenemos

j v α v = 2 h v 3 C 2 1 Exp ⁡ [ h v 0 / ( k T ) ] − 1

Pero esto no tiene el término exponencial correcto en el denominador para que coincida con la función de Planck, porque v 0 es constante (independiente de la frecuencia). O desde otra perspectiva, el problema es que gramo tu norte yo / ( gramo yo norte tu ) es independiente de la frecuencia.

¿Entonces qué está pasando? ¿Tenemos que romper alguna de las suposiciones/observaciones 1 o 2 anteriores? ¿Si es así, cómo? Si no es así, ¿la ley de Kirchoff simplemente no se aplica frecuencia por frecuencia sobre el ancho de una línea ancha, aunque todavía podría aplicarse en un sentido de promedio de línea? ¿Hay alguna otra posibilidad o detalle que se me haya pasado por alto?

La forma de Einstein de llegar a la función de Planck es asumir que existe una molécula con un par apropiado de niveles de energía para cualquier frecuencia de radiación. v deseado. Así que primero eliges algunos v y solo entonces asumes que hay una molécula con niveles que irradia espontáneamente a esta frecuencia. Creo que el gas de átomos de dos niveles con una frecuencia de emisión no funciona con esta derivación. Para obtener radiación con el espectro de Planck, en esta derivación se necesita un gas que radie en cualquier frecuencia posible.
@JánLalinský Incluso si solo hay 2 niveles en el átomo, el perfil de la línea no es una función delta: todavía hay un rango de frecuencias sobre el cual el átomo puede irradiar para la transición única. (Creo que en la derivación de Einstein, implícitamente asumió que el perfil de la línea es una función delta, pero no quiero hacer esa aproximación). Según los argumentos termodinámicos, esperaría que aún obtuvieras la función de fuente de Planck sobre todas esas frecuencias en el ancho de la línea, no solo en el centro de la línea. ¿Es ese el caso?
La derivación de Einstein es muy simplista. El perfil de línea no entra en absoluto. Asumir moléculas con líneas de emisión anchas está bien, pero no creo que sea esencial en la derivación de Einstein. Es presencia de diferentes pares de niveles con diferentes frecuencias asociadas. Un solo par de niveles con línea de emisión ancha no será suficiente en esta derivación. Tendrá que encontrar otro razonamiento para llegar a la función de Planck con tal suposición.
@JánLalinský Gracias. En ese caso, mi pregunta es "¿cuál es la otra línea de razonamiento necesaria para llegar a la función de Planck para una transición de un solo nivel?" ¿Y dónde se rompe exactamente la derivación simplista en mi pregunta?
LTE es solo una aproximación. Iría con su última explicación de que la función de origen es igual a la función de Planck promediada sobre un perfil de línea. ¿Importaría esto solo si el campo de radiación cambia apreciablemente sobre el ancho de una línea? ¿En qué caso podrías esperar LTE? Gran pregunta.
@RobJeffries Gracias, esa es otra buena perspectiva desde la cual ver mi pregunta, específicamente "¿Cómo podría esperar LTE en una situación en la que el campo de radiación cambia apreciablemente en el ancho de una línea?" Cualquier ayuda adicional sería muy apreciada.

Respuestas (2)

Supongamos que el mecanismo de ampliación es la ampliación de van der Waals o Stark, algo en lo que se perturban los niveles de energía de los átomos individuales.

En este caso, podría utilizar el siguiente argumento.

Divida el perfil de la línea en grupos de átomos que comparten la misma perturbación y trate a cada uno de ellos como una subpoblación con una brecha de energía diferente y, por lo tanto, una perturbación. v 0 ′ . Puede pasar por el argumento habitual que involucra la relación entre los coeficientes de Einstein y completar los dos niveles de acuerdo con el factor de Boltzmann, pero con h v 0 ′ en el argumento exponencial. Al final de esto, encontrará que la función fuente para cada subpoblación sigue la función de Planck a la misma temperatura T . Por lo tanto, LTE significa que la función de fuente es igual a la función de Planck en cada frecuencia.

Mmm. Tal vez. Agradezco la contribución, aunque tampoco estoy del todo seguro de que esta sea la explicación correcta. Si esto pudiera respaldarse con una derivación más detallada, o una referencia, sería de gran ayuda.
Estoy de acuerdo con una de sus sugerencias: la ley de Kirchoff no se aplicará (exactamente) si la línea es muy amplia. No creo que pueda usar el factor de Boltzmann como lo ha hecho en el caso de que los niveles de energía se amplíen significativamente (que es lo que implica un perfil de línea amplio).
Otro problema: ¿no se derivan también las "relaciones estándar entre los coeficientes de Einstein" al suponer que la densidad de energía de radiación está representada por algún valor medio sobre un perfil de línea estrecho?
Sí, las relaciones entre los coeficientes de Einstein a menudo se derivan del supuesto de un ensanchamiento de línea insignificante. Si es necesario refinar estas relaciones para líneas generales, sería bueno saberlo. Entonces, ¿cuál cree que es la explicación más prometedora aquí: las relaciones entre los coeficientes de Einstein deben refinarse, la aplicación del factor de Boltzmann para las densidades de población niveladas debe reconsiderarse, o ambas? Me gustaría precisar en detalle cómo funciona todo esto.
¡Do! Esperaba que alguien más opinara. ¿Tiene un sistema de ejemplo donde la ampliación es una fracción significativa de la frecuencia central?
Ver arriba: he cambiado completamente mi respuesta.
Ah, esta es una perspectiva prometedora. Lo pensaré un poco más a ver si estoy de acuerdo. Lo más probable es que termine dándote la recompensa. Gracias por tu ayuda.
Todavía no estoy contento con la explicación de la ampliación de la línea térmica, todavía estoy pensando. Pero creo que el resto está bien.
Sí, todavía no estoy seguro del ensanchamiento térmico. Pero definitivamente me has aclarado algunas cosas.

No estoy seguro de si esta explicación es correcta, así que no dude en señalar las inconsistencias.

Un gas con dos niveles de energía absorbe un rango de frecuencias centradas alrededor v 0 porque los átomos del gas están en movimiento, lo que hace que los fotones aparezcan con un desplazamiento Doppler apropiado en su marco de referencia.

En el marco del laboratorio, donde los átomos del gas están zumbando, uno podría interpretar esto como una manifestación de la dispersión de los niveles de energía del gas. Por lo tanto, cualquier gas tiene fundamentalmente más de dos niveles de energía. La relación entre los coeficientes de Einstein de cualquier par de niveles de energía (que están separados por una frecuencia v ) es todavía:

A 21 B 21 = 8 π h v 3 C 3 B 21 B 12 = gramo 1 gramo 2

Tenga en cuenta que la propagación térmica no perturbaría las degeneraciones. Esta dispersión en los niveles de energía tiene consecuencias, como señalaste en los comentarios, para el factor Boltzmann. Para cada diferencia de frecuencia v , el factor de Boltzmann sería ahora:

norte tu norte yo = mi − h v / k T

Por lo tanto, en principio, podría derivar la función fuente para cada frecuencia de forma independiente. Entonces mantendría colectivamente que la ley de Kirchoff es aplicable a cualquier gas en LTE, independientemente de qué mecanismos físicos contribuyeron en qué medida a la expansión de la línea.

Por supuesto, la siguiente suposición todavía se utiliza para todas las frecuencias de transición :

ϕ ( v ) = x ( v ) = ψ ( v )

Estas funciones de perfil de línea representan tres procesos muy específicos: Emisión Espontánea, Absorción, Emisión Estimulada. Estos procesos están idealmente centrados alrededor de una frecuencia específica. v 0 por lo que esperaría que el ensanchamiento térmico los afectara por igual.

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