Ley de Gauss para la forma derivada del magnetismo: ¿con o sin integral de volumen?

Como dijo Draksis, la condición es que la integral sobre cualquier volumen debe ser cero. Si quieres una prueba formal, aquí tienes:

Llamemos$f(\mathbf{x}) = \nabla \cdot \mathbf{B}$, y supóngase que es continua. Supongamos que hay algunos$\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^3$con$f(\mathbf{x}_0) \neq 0$, y digamos que$f(\mathbf{x}_0) > 0$(la prueba de$f < 0$es idéntico). Entonces desde$f$es una función continua, hay alguna bola$B$alrededor$\mathbf{x}_0$dónde$f$es positivo. Por lo tanto,$\int_B f > 0$, lo cual es una contradicción con la suposición de que la integral debe ser cero para cualquier volumen.

Intuitivamente, si la integral de volumen de una función es 0 sobre cualquier volumen arbitrario, la función misma debe ser 0 en todos los puntos del espacio.

Más concretamente, considere una función para la cual$\int_V \, f \, \mathrm{d}x = 0$para cualquier volumen$V$. Entonces,$\int_{V+dV} \, f \, \mathrm{d}x = 0$para cualquier adición infinitesimal a V.

$$\int_{V+dV} \, f \, \mathrm{d}x - \int_V \, f \, \mathrm{d}x = \int_{dV} \, f \, \mathrm{d}x = f(\text{at dV}) = 0$$

En tu caso,$f = \nabla \cdot B$, entonces$\nabla \cdot B = 0$.

(Nota: fui un poco perezoso con mi notación anterior, por lo que no es una prueba formal. Sin embargo, aún debería proporcionar la respuesta intuitiva a su pregunta).