LC en paralelo con la resonancia del circuito R

Question

LC en paralelo con la resonancia del circuito R

C.A
lcr
Física
inductancia
capacidad
análisis de circuitos

chern simons

He estado haciendo un experimento que implica medir el voltaje a través del capacitor a diferentes frecuencias de conducción. Considere el siguiente circuito:

Un bosquejo de la curva experimental. $(R_1<R_2<R_3)$ con $(L,C)$ constante:

Sin embargo, todavía estoy tratando de entender por qué se produce la resonancia en primer lugar. Mi lógica es la siguiente:

$V_L$ y $V_C$ están en antifase entre sí (el inductor está en fase con el condensador), por lo que el voltaje de la combinación LC y, por lo tanto, el voltaje del circuito es:

V = V_{L} - V_{C}

$V=V_L-V_C$

V

$V$ está en fase con

I_{R}

$I_R$ . La corriente del circuito es

I = \sqrt{I_{L C}^{2} + I_{R}^{2}}

$I=\sqrt{I_{LC}^2+I_R^2}$

\frac{V}{Z} = \sqrt{{(\frac{V}{Z_{L C}})}^{2} + {(\frac{V}{R})}^{2}}

$\frac{V}{Z}=\sqrt{\left(\frac{V}{Z_{LC}}\right)^2+\left(\frac{V}{R}\right)^2}$ . Ya que

V = V_{L C} = V_{L} - V - C

$V=V_{LC}=V_L-V-C$ ,

I_{L C} Z_{L C} = I_{L C} X_{L} - I_{L C} X_{C}

$I_{LC}Z_{LC}=I_{LC}X_L-I_{LC}X_C$ ,

Z_{L C} = X_{L} - X_{C}

$Z_{LC}=X_L-X_{C}$

\frac{1}{Z} = \sqrt{\frac{1}{(X_{L} - X_{C})^{2}} + \frac{1}{R^{2}}} \to Z = \frac{| X_{L} - X_{R} | R}{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}

$\frac{1}{Z}=\sqrt{\frac{1}{(X_L-X_C)^2}+\frac{1}{R^2}} \to Z=\frac{|X_L-X_R|R}{R^2+(X_L-X_C)^2}$ por resonancia,

X_{L} = X_{C} \to Z = 0

$X_L=X_C \to Z=0$ . Pero

Z = 0

$Z=0$ daría lugar a

I \to \infty

$I \to \infty$ así que algo no está bien con mi derivación para

Z

$Z$ (impedancia del circuito)?

Además, me han dado la amplitud del pico de resonancia:

A = \frac{k}{\sqrt{(ω^{2} - ω_{0}^{2})^{2} + (γ ω)^{2}}}

$A=\frac{k}{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\gamma \omega)^2}}$ donde

k

$k$ es algún factor de normalización,

ω = 2 π f

$\omega=2\pi f$ y

γ

$\gamma$ es el coeficiente de amortiguamiento. Para

A

$A$ aumentar con

R

$R$ , ¿estoy en lo cierto al suponer que

γ \propto \frac{1}{R}

$\gamma \propto \frac{1}{R}$ ? ¿Existe una ecuación diferencial para describir el circuito?

EDITAR: La reactancia interna de la fuente de voltaje ~ $600 \Omega$ , $(R_1,R_2,R_3)=(1\Omega, 2\Omega, 3\Omega)$ , /$L=1mH, C=100nF$/ Obtuve la siguiente ecuación diferencial:

{\ddot{I}}_{L C} (t) + \frac{1}{L} \frac{R_{o tu t pags tu t} R}{R + R_{o tu t pags tu t}} {\dot{I}}_{L C (t)} + \frac{I_{L C} (t)}{L C} = \frac{R V_{0} ω C o s (ω t)}{(R + R_{o tu t pags tu t}) L}

$\ddot{I}_{LC}(t)+\frac{1}{L}\frac{R_{output}R}{R+R_{output}}\dot{I}_{LC(t)}+\frac{I_{LC}(t)}{LC}=\frac{RV_0 \omega cos(\omega t)}{(R+R_{output})L}$ , donde

ω

$\omega$ es la frecuencia angular impulsora y

V_{0}

$V_0$ es el voltaje de conducción pico. Esto significa

γ = \frac{R_{o u t p u t} R}{L (R + R_{o u t p u t})}

$\gamma=\frac{R_{output}R}{L(R+R_{output})}$ incluso si se tiene en cuenta la resistencia de salida, pero una R más alta no conduciría a una mayor

γ

$\gamma$ y por lo tanto menor amplitud?

el fotón

¿Es su fuente de voltaje ideal o tiene una resistencia interna que no se muestra en su diagrama?

Andy alias

Plantea bien tu pregunta por favor. Como lo tiene actualmente, "R" no tendrá ningún efecto y mucho menos R1, R2 y R3 (donde sea que estén).

chern simons

Acabo de darme cuenta de que la fuente de voltaje (picoscopio) tiene una reactancia interna de

600 Ω

$600 \Omega$ (

R_{1}, R_{2}, R_{3}) = 1 Ω, 2 Ω, 3 Ω

$R_1,R_2,R_3)=1\Omega, 2\Omega, 3\Omega$ ?

chern simons

Por favor, vea las ediciones, obtuve una ecuación diferencial. pero no tiene sentido.

ene

@floccinaucinihilipilificator ¿Cuáles son sus valores para

L

$L$ y

C

$C$ ?

chern simons

@Jan L=1mH, C=100nF

Respuestas (2)

LC en paralelo con la resonancia del circuito R

¿Es su fuente de voltaje ideal o tiene una resistencia interna que no se muestra en su diagrama?
Plantea bien tu pregunta por favor. Como lo tiene actualmente, "R" no tendrá ningún efecto y mucho menos R1, R2 y R3 (donde sea que estén).
Acabo de darme cuenta de que la fuente de voltaje (picoscopio) tiene una reactancia interna de $600 \Omega$ ( $R_1,R_2,R_3)=1\Omega, 2\Omega, 3\Omega$ ?
Por favor, vea las ediciones, obtuve una ecuación diferencial. pero no tiene sentido.
@floccinaucinihilipilificator ¿Cuáles son sus valores para $L$ y $C$ ?

un ciudadano preocupado · Answer 1

La impedancia equivalente que calculó solo es válida si la mide a través $R$ , sin tener en cuenta la fuente, pero su salida es a través $C$ . Para calcular la función de transferencia, primero debe tener en cuenta la impedancia (considerémosla una resistencia) de la fuente de voltaje, que se puede modelar como una resistencia en serie. De lo contrario, no tiene sentido, ya que una fuente de voltaje se considera cero, o una impedancia muy baja, por lo tanto, una resistencia a través de ella que es más grande que su fuente no contribuirá con nada.

Considere el voltaje a través $R$ ser $V_1$ . Entonces, la impedancia vista desde el lado de la fuente es $Z_1$ :

\begin{aligned} (1) & Z_{L C} & = s L + \frac{1}{s C} \\ Z_{1} & = \frac{1}{\frac{1}{Z_{L C}} + \frac{1}{R}} \\ (2) & = R \frac{s^{2} + \frac{1}{L C}}{s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{L C}} \\ \Rightarrow \\ (3) & V_{o tu t} & = V_{1} \frac{Z_{1}}{Z_{1} + R_{I norte}} \\ \Rightarrow \\ (4) & H (s) & = \frac{R}{R_{I norte} + R} \frac{s^{2} + \frac{1}{L C}}{s^{2} + \frac{R_{I norte}}{R_{I norte} + R} \frac{R}{L} s + \frac{1}{L C}} \end{aligned}

$\begin{align*} Z_{LC}&=sL+\dfrac{1}{sC}\tag{1} \\ Z_1&=\dfrac{1}{\dfrac{1}{Z_{LC}}+\dfrac{1}{R}} \\ &=R\dfrac{s^2+\dfrac{1}{LC}}{s^2+\dfrac{R}{L}s+\dfrac{1}{LC}}\tag{2} \\ &\Rightarrow \\ V_{out}&=V_1\dfrac{Z_1}{Z_1+R_{in}}\tag{3} \\ &\Rightarrow \\ H(s)&=\dfrac{R}{R_{in}+R}\dfrac{s^2+\dfrac{1}{LC}}{s^2+\dfrac{R_{in}}{R_{in}+R}\dfrac{R}{L}s+\dfrac{1}{LC}}\tag{4} \end{align*}$

$(4)$ muestra un paso bajo de segundo orden atenuado y amortiguado, que debería tener una respuesta similar a esta (para algunos valores aleatorios de $L=1\;\text{mH},\;C=1\;\mu\text{F},\;R=100\;\Omega,\;R_{in}=50\;\Omega$ ):

Pero sus gráficos muestran solo un pico que se asemeja a un paso de banda. Entonces, en el caso de que sus conexiones estén de acuerdo con su esquema, supongo que solo está midiendo un ancho de banda finito alrededor del pico, algo como esto:

Si este es el caso, entonces necesita aumentar el rango; de lo contrario, es posible que tenga algo diferente, y solo se puede determinar mostrando los valores reales de los elementos (incluidos los parásitos, para L, al menos), la impedancia de salida de la fuente , punto de medición, cómo se mide, rango de frecuencias y amplitudes/magnitudes que estás midiendo.

Dada la edición reciente, aún no ha dicho cuál es el rango de frecuencias que está midiendo, pero aquí está la respuesta modificada de su circuito con sus valores:

Esto refuerza aún más mi suposición de que está midiendo la salida en un ancho de banda limitado, creando la ilusión de que es un paso de banda, en lugar de un paso bajo muy subamortiguado.

En cuanto a la amortiguación, como muestra su fórmula recién encontrada, es exactamente como se muestra en mi derivación, lo que significa que lo habitual $R/L$ es ahora $R_{eq}/L$ , donde $R_{eq}=R_{in}||R$ . En resumen, ambos $R$ y $R_{in}$ contribuir. Y si $L$ tenía una resistencia en serie, eso también habría estado allí. Si te lo pone más fácil, aquí está la función de transferencia reescrita:

H (s) = \frac{R}{R_{I norte} + R} \frac{s^{2} + \frac{1}{L C}}{s^{2} + \frac{R_{I norte} | | R}{L} s + \frac{1}{L C}}

$H(s)=\dfrac{R}{R_{in}+R}\dfrac{s^2+\dfrac{1}{LC}}{s^2+\dfrac{R_{in}||R}{L}s+\dfrac{1}{LC}}$

Su nueva edición pareció dejar más claro cuál es su pregunta, vea si la actualización ayuda.

ene · Answer 2

Primero, presentaré un método que usa Mathematica para resolver este problema. Cuando estaba estudiando estas cosas, usaba el método todo el tiempo (sin usar Mathematica, por supuesto). Además de que la respuesta de @un ciudadano preocupado es excelente.

Bueno, estamos tratando de analizar el siguiente circuito:

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Cuando usamos y aplicamos KCL , podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

\begin{matrix} (1) & I_{I} = I_{1} + I_{2} \end{matrix}

$\text{I}_\text{i}=\text{I}_1+\text{I}_2\tag1$

Cuando usamos y aplicamos la ley de Ohm , podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

\begin{matrix} (2) & {\begin{cases} I_{I} = \frac{V_{I} - V_{1}}{R_{1}} \\ I_{1} = \frac{V_{1}}{R_{1}} \\ I_{2} = \frac{V_{1} - V_{2}}{R_{2}} \\ I_{2} = \frac{V_{2}}{R_{3}} \end{cases} \end{matrix}

$\begin{cases} \text{I}_\text{i}=\frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}\\ \\ \text{I}_1=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_1}\\ \\ \text{I}_2=\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_2}\\ \\ \text{I}_2=\frac{\text{V}_2}{\text{R}_3} \end{cases}\tag2$

Sustituir $(2)$ dentro $(1)$ , para obtener:

\begin{matrix} (3) & {\begin{cases} \frac{V_{I} - V_{1}}{R_{1}} = \frac{V_{1}}{R_{1}} + \frac{V_{1} - V_{2}}{R_{2}} \\ \frac{V_{I} - V_{1}}{R_{1}} = \frac{V_{1}}{R_{1}} + \frac{V_{2}}{R_{3}} \end{cases} \end{matrix}

$\begin{cases} \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_1}+\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_2}\\ \\ \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_1}+\frac{\text{V}_2}{\text{R}_3} \end{cases}\tag3$

Ahora, podemos resolver para $\text{V}_2$ :

\begin{matrix} (4) & V_{2} = \frac{R_{1} R_{3} V_{I}}{R_{I} (R_{2} + R_{3}) + R_{1} (R_{I} + R_{2} + R_{3})} \end{matrix}

$\text{V}_2=\frac{\text{R}_1\text{R}_3\text{V}_\text{i}}{\text{R}_\text{i}\left(\text{R}_2+\text{R}_3\right)+\text{R}_1\left(\text{R}_\text{i}+\text{R}_2+\text{R}_3\right)}\tag4$

Donde usé el siguiente código de Mathematica para encontrar $(4)$ :

In[1]:=FullSimplify[
 Solve[{Ii == I1 + I2, Ii == (Vi - V1)/Ri, I1 == V1/R1, 
   I2 == (V1 - V2)/R2, I2 == V2/R3}, {Ii, I1, I2, V1, V2}]]

Out[1]={{Ii -> ((R1 + R2 + R3) Vi)/((R2 + R3) Ri + R1 (R2 + R3 + Ri)), 
  I1 -> ((R2 + R3) Vi)/((R2 + R3) Ri + R1 (R2 + R3 + Ri)), 
  I2 -> (R1 Vi)/((R2 + R3) Ri + R1 (R2 + R3 + Ri)), 
  V1 -> (R1 (R2 + R3) Vi)/((R2 + R3) Ri + R1 (R2 + R3 + Ri)), 
  V2 -> (R1 R3 Vi)/((R2 + R3) Ri + R1 (R2 + R3 + Ri))}}

Entonces, la función de transferencia viene dada por:

\begin{matrix} (5) & H := \frac{V_{2}}{V_{I}} = \frac{R_{1} R_{3}}{R_{I} (R_{2} + R_{3}) + R_{1} (R_{I} + R_{2} + R_{3})} \end{matrix}

$\mathcal{H}:=\frac{\text{V}_2}{\text{V}_\text{i}}=\frac{\text{R}_1\text{R}_3}{\text{R}_\text{i}\left(\text{R}_2+\text{R}_3\right)+\text{R}_1\left(\text{R}_\text{i}+\text{R}_2+\text{R}_3\right)}\tag5$

Ahora, aplicando esto a su circuito, debemos usar (a partir de ahora, uso las letras minúsculas para la función en el dominio s 'complejo' donde usé la transformada de Laplace ):

$\begin{matrix} (6) & R_{2} = SL \end{matrix}$ $\text{R}_2=\text{sL}\tag6$
$\begin{matrix} (7) & R_{3} = \frac{1}{Carolina del Sur} \end{matrix}$ $\text{R}_3=\frac{1}{\text{sC}}\tag7$

Entonces, podemos reescribir $(5)$ :

h (s) = \frac{R_{1} \cdot \frac{1}{Carolina del Sur}}{R_{I} (SL + \frac{1}{Carolina del Sur}) + R_{1} (R_{I} + SL + \frac{1}{Carolina del Sur})} =

$\mathcal{h}\left(\text{s}\right)=\frac{\text{R}_1\cdot\frac{1}{\text{sC}}}{\text{R}_\text{i}\left(\text{sL}+\frac{1}{\text{sC}}\right)+\text{R}_1\left(\text{R}_\text{i}+\text{sL}+\frac{1}{\text{sC}}\right)}=$

\begin{matrix} (8) & \frac{R_{1}}{CL (R_{I} + R_{1}) s^{2} + {RC}_{I} R_{1} s + R_{I} + R_{1}} \end{matrix}

$\frac{\text{R}_1}{\text{CL}\left(\text{R}_\text{i}+\text{R}_1\right)\text{s}^2+\text{CR}_\text{i}\text{R}_1\text{s}+\text{R}_\text{i}+\text{R}_1}\tag8$

Usando el hecho de que para voltajes sinusoidales sabemos que $\text{s}:=\text{j}\omega$ (donde $\text{j}^2=-1$ y $\omega=2\pi\text{f}$ ), podemos escribir para la amplitud:

| \underline{h} (j ω) | = | \frac{R_{1}}{CL (R_{I} + R_{1}) {(j ω)}^{2} + {RC}_{I} R_{1} j ω + R_{I} + R_{1}} | =

$\left|\underline{\mathcal{h}}\left(\text{j}\omega\right)\right|=\left|\frac{\text{R}_1}{\text{CL}\left(\text{R}_\text{i}+\text{R}_1\right)\left(\text{j}\omega\right)^2+\text{CR}_\text{i}\text{R}_1\text{j}\omega+\text{R}_\text{i}+\text{R}_1}\right|=$

\frac{| R_{1} |}{| R_{I} + R_{1} - CL (R_{I} + R_{1}) ω^{2} + {RC}_{I} R_{1} ω j |} =

$\frac{\left|\text{R}_1\right|}{\left|\text{R}_\text{i}+\text{R}_1-\text{CL}\left(\text{R}_\text{i}+\text{R}_1\right)\omega^2+\text{CR}_\text{i}\text{R}_1\omega\text{j}\right|}=$

\begin{matrix} (9) & \frac{R_{1}}{\sqrt{{(R_{I} + R_{1} - CL (R_{I} + R_{1}) ω^{2})}^{2} + {({RC}_{I} R_{1} ω)}^{2}}} \end{matrix}

$\frac{\text{R}_1}{\sqrt{\left(\text{R}_\text{i}+\text{R}_1-\text{CL}\left(\text{R}_\text{i}+\text{R}_1\right)\omega^2\right)^2+\left(\text{CR}_\text{i}\text{R}_1\omega\right)^2}}\tag9$

Ahora, usando el hecho de que $\text{R}_\text{i}=600\space\Omega$ , $\text{C}=100\cdot10^{-9}\space\text{F}$ , y $\text{L}=1\cdot10^{-3}\space\text{H}$ . Entonces obtenemos:

\begin{matrix} (10) & | \underline{h} (j ω) | = \frac{10^{10} R_{1}}{\sqrt{{(R_{1} + 600)}^{2} ω^{4} + 2 \cdot 10^{10} (R_{1} (17 R_{1} - 1200) - 360000) ω^{2} + 10^{20} {(R_{1} + 600)}^{2}}} \end{matrix}

$\displaystyle\left|\underline{\mathcal{h}}\left(\text{j}\omega\right)\right|=\frac{10^{10}\text{R}_1}{\sqrt{\left(\text{R}_1+600\right)^2\omega^4+2\cdot10^{10}\left(\text{R}_1\left(17\text{R}_1-1200\right)-360000\right)\omega^2+10^{20}\left(\text{R}_1+600\right)^2}}\tag{10}$

Donde usé el siguiente código de Mathematica para encontrar $(10)$ :

In[2]:=Clear["Global`*"];
x = R1/(R1 + Ri + c R1 Ri s + c L (R1 + Ri) s^2);
s = I*\[Omega];
Ri = 600;
c = 100*10^(-9);
L = 1*10^(-3);
FullSimplify[
 Sqrt[(ComplexExpand[Re[x]])^2 + (ComplexExpand[Im[x]])^2], 
 Assumptions -> R1 > 0 && \[Omega] >= 0]

Out[2]=(10000000000 R1)/Sqrt[
100000000000000000000 (600 + R1)^2 + 
 20000000000 (-360000 + R1 (-1200 + 17 R1)) \[Omega]^2 + (600 + 
    R1)^2 \[Omega]^4]

El máximo se produce cuando (suponiendo que debe ser positivo):

ω_{0} = 2 π F_{0} = \frac{100000 \sqrt{R_{1} (1200 - 17 R_{1}) + 360000}}{R_{1} + 600} ⟺

$\omega_0=2\pi\text{f}_0=\frac{100000\sqrt{\text{R}_1\left(1200-17\text{R}_1\right)+360000}}{\text{R}_1+600}\space\Longleftrightarrow\space$

\begin{matrix} (11) & F_{0} = \frac{100000 \sqrt{R_{1} (1200 - 17 R_{1}) + 360000}}{2 π (R_{1} + 600)} = \frac{50000 \sqrt{R_{1} (1200 - 17 R_{1}) + 360000}}{π (R_{1} + 600)} \end{matrix}

$\text{f}_0=\frac{100000\sqrt{\text{R}_1\left(1200-17\text{R}_1\right)+360000}}{2\pi\left(\text{R}_1+600\right)}=\frac{50000\sqrt{\text{R}_1\left(1200-17\text{R}_1\right)+360000}}{\pi\left(\text{R}_1+600\right)}\tag{11}$

Donde usé el siguiente código de Mathematica para encontrar $(11)$ :

In[3]:=FullSimplify[
 Solve[{D[%2, \[Omega]] == 0, R1 > 0 && \[Omega] >= 0}, \[Omega]]]

Out[3]={{\[Omega] -> 
   ConditionalExpression[0, 
    0 < R1 < 600/17 (1 + 3 Sqrt[2]) || 
     R1 > 600/17 (1 + 3 Sqrt[2])]}, {\[Omega] -> 
   ConditionalExpression[(100000 Sqrt[360000 + (1200 - 17 R1) R1])/(
    600 + R1), 0 < R1 < 600/17 (1 + 3 Sqrt[2])]}}

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