Cómo derivar la fórmula de reactancia capacitiva e inductiva

El enfoque fasorial es el imo más fácil. Simplemente deja que V e I se conviertan en un fasor. Luego reemplaza todos los operadores diferenciales por expresiones algebraicas. He hecho el capacitor por ti.

Nota: en esta forma, no olvide que tanto I como V ahora son fasores y, por supuesto, V/I es un número complejo.

Editar: puede notar que hice la fase phi = 0. Hice esto para aclarar las cosas, pero su valor no hace ninguna diferencia. Cuando tomas dV/dt, la fase phi nunca es parte de esa expresión de todos modos...

Deje que la corriente a través del inductor sea$i=I\:sin (\omega\:t)$, entonces el voltaje a través será$v=L \:\dfrac{di}{dt}= I\: \omega L\: cos (\omega t)$. la reactancia es$X_L =\dfrac{|v|}{|i|}=\omega L$, donde los signos de magnitud indican amplitud o valor RMS, según corresponda.

Análisis similar para la reactancia capacitiva, pero esta vez:$v=\frac{1}{C}\large\int \small i\:\small dt=-\dfrac{I}{\omega C}cos\:(\omega t)$

Actualmente estoy leyendo El arte de la electrónica y tuve algunos problemas para entender la derivación de la impedancia de un capacitor.$\boldsymbol Z_C$a una frecuencia$\omega$en el apartado 1.7.4. Finalmente lo descubrí, así que pensé en agregarlo aquí.

El texto comienza con un voltaje sinusoidal:

$$V(t) = \cos \omega t\ $$

Entonces podemos notar de la fórmula de Euler$re^{j\theta}=r\cos\theta + jr\sin \theta$que nuestra función$V(t)$es la parte real del lado izquierdo:

$$V(t) = \Re(V_0 e^{j \omega t})$$

Ahora, sabemos que$I = C(dV(t) /dt)$, por lo que podemos sustituir para encontrar

$$\begin{eqnarray*} I(t) &=& C \frac{d\left(\Re(V_0e^{j\omega t})\right)}{dt}\\ &=& \Re \left( V_0C\frac{de^{j\omega t}}{dt} \right) \\ &=& \Re \left( V_0Cj\omega e^{j\omega t}\right) \end{eqnarray*}$$

Ahora, aquí es donde me arrojaron un poco de bucle. El truco para encontrar la impedancia es considerar la ley de Ohm:$V = IZ$. Queremos reescribir la ecuación anterior para que quede en la forma:

$$I(t) = \frac{V(t)}{Z}$$

Sabemos$V(t) = \Re(V_0 e^{j \omega t})$, entonces si multiplicamos por$j/j$obtenemos:

$$\begin{eqnarray*} I(t) &=& \Re \left( V_0Cj \omega e^{j \omega t} \cdot \frac{j}{j}\right)\\ &=& \Re \left( \frac{V_0 C j^2 \omega e^{j \omega t}}{j} \right)\\ &=& \Re \left( \frac{V_0 C \omega e^{j \omega t}}{-j} \right)\\ &=& \Re \left( \frac{V_0 e^{j\omega t}}{-j / \omega C} \right)\\ &=& \Re \left( \frac{V(t)}{-j / \omega C} \right) \end{eqnarray*}$$

Ahora que lo tenemos en esta forma, está claro que$Z_C = -j/\omega C$.

Obviamente, todavía soy un principiante, por lo que agradecería si alguien pudiera señalar algún error aquí, pero parece coincidir bastante bien con el texto.

Condensador:
I=C * dv/dt
d/dt=jw=s (transformada de Laplace abreviada)
I=C * sV
C=I/sV
1/sC=V/I=Xc

Inductor:
V=L * di/dt
V=L * sI
L=V/sI
sL=V/I=Xl

La ecuación con la que crecí es esta:

Xc = 1 / ( 2 pi f C ) expresado en ohmios

Si esta es la ecuación que está tratando de derivar, olvídelo... esta ecuación no es (en términos matemáticos) "rigurosamente correcta", en realidad es una cruda "regla general", que tiene algunos supuestos incorporados que son NUNCA identificado, en ningún lado. Estaba en el camino correcto pero no fue lo suficientemente lejos... El término SIN wt / COS wt se puede reescribir como TAN wt, que se evalúa como una cantidad que varía de +infinito a -infinito, dos veces durante cada ciclo .

La ecuación que creaste en realidad expresa la RESISTENCIA INSTANTÁNEA de un capacitor, accionado con una onda sinusoidal. (= voltaje instantáneo a través del capacitor, dividido por la corriente instantánea que fluye a través del capacitor) El hecho de que este valor (lo llamaré Rc) varíe de +infinito a -infinito... dos veces durante cada ciclo... es en realidad 100% correcto.

La resistencia instantánea se evalúa como una cantidad Rc positiva durante los intervalos de 1/4 de ciclo 1 y 3 de una forma de onda impulsora de onda sinusoidal, y se evalúa como una cantidad Rc negativa en los intervalos de 1/4 de ciclo 2 y 4 de la misma forma de onda de conducción.

Esto simplemente indica que la energía está fluyendo HACIA EL capacitor durante los intervalos 1 y 3 (1/4 de ciclo), (es decir, el circuito está "cargando" la tapa = +Rc) y la energía está saliendo del capacitor durante el segundo y 4to (1/4 ciclo) intervalos. (es decir, la tapa está "descargando" energía de nuevo en el circuito = -Rc)

(repitiendo, todo esto asume que la forma de onda impulsora es una onda sinusoidal... y SOLO una onda sinusoidal)

El hecho de que el valor de Rc sea totalmente "salvaje" y varíe de +infinito a -infinito... dos veces... durante cada ciclo... significa que la "resistencia" de un condensador accionado con una onda sinusoidal NO TIENE UN ESPECÍFICO VALOR QUE PUEDE SER IDENTIFICADO O UTILIZADO EN CUALQUIER CÁLCULO DE CIRCUITO. Dicho de otra manera, el concepto de RESISTENCIA como una expresión de la relación voltaje/corriente en un capacitor (accionado con una onda sinusoidal) ES INÚTIL.

Por eso NUNCA se identifica la relación voltaje/corriente de un capacitor con la palabra RESISTENCIA... en cambio, se "inventa" una NUEVA cantidad que es similar, y mucho más útil... llamada REACTANCIA, que también se expresa en Ohmios .

La reactancia se define como la RELACIÓN de TENSIÓN MÁXIMA a CORRIENTE MÁXIMA, dentro de cada ciclo de onda sinusoidal (aplicada)... Para un capacitor, la TENSIÓN máxima ocurre en w = +1/4 de ciclo, cuando SIN(w) = +1, y la corriente máxima ocurre en w = +0/4 ciclo, cuando COS(w) = +1. Reemplazar estas constantes en su ecuación producirá la conocida ecuación (álgebra básica) para la reactancia capacitiva...

Xc = 1 / ( 2Pi f C )

Entonces... esa ecuación NO ES VERDADERA en cada instante de tiempo... expresa la relación entre el voltaje MÁXIMO y la corriente MÁXIMA, pero ignora el hecho de que estos dos máximos NO ocurren simultáneamente... y no hay nada en la ecuación para incluso "insinuar" que este "truco" (poco ético) se está haciendo... eso explica MUCHO...

Es por eso que la suma (álgebra simple) de los valores de R y X debe hacerse con la suma de vectores, en lugar de la suma algebraica... los vectores toman en cuenta las "diferencias de tiempo" cuando se hace la suma... las sumas algebraicas no pueden Haz eso.

Nunca verás una explicación como esta en ningún lugar de un libro de texto porque nadie quiere tomarse el tiempo para explicar todas estas cosas... porque es básicamente un gran lío que todo el mundo desea que simplemente desaparezca... y desaparece, si usa matemáticas superiores ... pero los "simples mortales" deben pasar la vida con álgebra simple y simple, y simplemente no hará el trabajo correctamente, en este caso.